EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA I
Definicije
1. Tačka je ono što nema delova.
2. Linija je dužina bez širine.
3. Krajevi linije su tačke.
4. Prava linija je ona, koja za tačke na njoj podjednako leži.
5. Površina je ono što ima samo dužinu i širinu.
6. Krajevi površine su linije.
7. Ravan je površina koja za prave na njoj podjednako leži.
8. Ugao u ravni je uzajamni nagib dveju linija u ravni, koje se stiču i koje ne leže u istoj pravoj.
9. Ako su linije koje obrazuju ugao prave, ugao se zove pravolinijski.
10. Ako prava, koja stoji na drugoj pravoj, obrazuje sa ovom dva susedna jednaka ugla, svaki od njih je prav, a podignuta prava zove se normala na onoj na kojoj stoji.
11. Tup ugao je onaj, koji je veći od pravog.
12. Oštar je onaj, koji je manji od pravog.
13. Granica je ono što je kraj ma čega.
14. Figura je ono što je omeđeno ili jednom ili sa više granica.
15. Krug je ravna figura omeđena takvom jedinom linijom (koja se zove periferija), da su sve prave povučene od jedne tačke, koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji (prema periferiji kruga) međusobno jednake.
16. Ova tačka zove se središte kruga.
17. Prečnik kruga je svaka prava što prolazi kroz središte kruga, a ograničena je sa svake strane periferijom kruga; on polovi krug.
18. Polukrug je figura ograničena prečnikom i njime odvojenom periferijom kruga; središte polukruga je isto kao i središte kruga.
19. Pravolinijske figure su one koje su ograničene pravama; trostrane su ograničene sa tri, četvorostrane sa četiri, mnogostrane sa više od četiri prave.
20. Od trostranih figura jednakostrani trougao ima tri jednake strane, jednakokraki ima samo dve jednake strane, a raznostrani ima tri nejednake strane.
21. Dalje, od trostranih figura je pravougli trougao onaj koji ima prav ugao, tupougli koji ima tup ugao, a oštrougli koji ima tri oštra ugla.
22. Od četvorostranih figura kvadrat je jednakostran i sa pravim uglovima; pravougaonik je sa pravim uglovima, no nije sa jednakim stranama; romb sa jednakim stranama, no nije sa pravim uglovima; romboid sa jednakim naspramnim stranama i jednakim naspramnim uglovima, no nije ni jednakostran ni sa pravim uglovima. Ostale četvorostrane figure neka se zovu trapezi.
23. Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produžene u beskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom.
Postulati
Neka se pretpostavi
1. Da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija.
2. I da ograničena prava može biti produžena u svom pravcu neprekidno.
3. I da se može opisati iz svakog središta svakim rastojanjem krug.
4. I da su svi pravi uglovi jednaki međusobno.
5. I da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutrašnja ugla čiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produžene, seći i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava.
Aksiome
1. Oni (objekti) koji su jednaki istom (objektu) jednaki su međusobno.
2. I ako se jednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su jednake.
3. I ako se od jednakih (objekata) oduzmu jednaki (objekti) ostaci su jednaki.
4. I ako se nejednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su nejednake.
5. I udvostručeni jednaki (objekti) jednaki su međusobno.
6. I polovine od jednakih (objekata) jednake su međusobno .
7. I oni (geometriski objekti) koji se mogu poklopiti jednaki su međusobno.
8. I celina je veća od dela.
9. I dve prave ne ograničavaju oblast.
1.
Na datoj duži (ograničenoj pravoj) konstruisati jednakostran trougao.
2.
Iz date tačke povući duž jednaku datoj duži.
3.
Ako su date dve nejednake duži, na veću preneti duž jednaku manjoj.
4.
Ako su kod dva trougla dve strane jednog jednake odgovarajućim dvema stranama drugog i ako su jednaki uglovi koje obrazuju jednake strane, mora i osnovica biti jednaka osnovici, jedan trougao mora biti jednak drugom trouglu i ostali uglovi moraju biti jednaki ostalim uglovima i to odgovarajući, naime oni koji leže spram jednakih strana.
5.
Kod jednakokrakih trouglova uglovi su na osnovici jednaki međusobno, a u slučaju produženja jednakih strana uglovi pod osnovicom takođe moraju biti jednaki međusobno.
6.
Ako su u trouglu međusobno jednaka dva ugla, onda moraju biti međusobno jednake i strane koje leže spram jednakih uglova.
7.
Nemoguće je iz dve različite tačke, koje se nalaze sa iste strane date duži, povući ka krajnjim tačkama te duži po dve duži tako da duži sa istim krajevima budu međusobno jednake.
8.
Ako su u dva trougla dve strane jednake dvema odgovarajućim stranama drugog, i osnovice im jednake, moraju biti jednaki i uglovi koje obrazuju jednake strane.
9.
Prepoloviti dati pravolinijski ugao.
10.
Prepoloviti datu duž.
11.
Iz date tačke na datoj pravoj povući pravu pod pravim uglom prema datoj pravoj.
12.
Povući pravu liniju normalno na datu beskrajnu pravu iz date tačke koja ne pripada datoj pravoj.
13.
Ako prava povučena nad pravom obrazuje uglove, moraju ti uglovi biti ili oba pravi ili obrazovati zajedno dva prava ugla.
14.
Ako ma sa kojom pravom, u istoj tački na njoj, dve druge prave sa različitih strana prve prave grade susedne uglove, koji zajedno obrazuju dva prava ugla, te dve prave moraju se nalaziti u istoj pravoj.
15.
Ako se dve prave seku, one obrazuju unakrsne uglove, koji su jednaki jedan drugome.
16.
U svakom trouglu je spoljašnji ugao, obrazovan produženjem jedne strane, veći od svakog od dva unutrašnja nesusedna ugla.
17.
U svakom trouglu je zbir dvaju uglova, proizvoljno izabranih, manji od dva prava ugla.
18.
U svakom trouglu spram veće strane leži veći ugao.
19.
U svakom trouglu spram većeg ugla leži veća strana.
20.
U svakom trouglu zbir dveju strana, proizvoljno izabranih, veći je od treće strane.
21.
Ako se u unutrašnjosti trougla iz krajnjih tačaka jedne njegove strane povuku dve prave koje se seku, zbir povučenih pravih biće manji od dveju ostalih strana trougla, a ugao, koji one grade, veći.
22.
Od tri prave, koje su jednake trima datim pravama, načiniti trougao; pri tome zbir dveju, proizvoljno uzetih, mora biti veći od treće, jer je u svakom trouglu zbir dveju, proizvoljno uzetih, strana veći od preostale strane [I. 20].
23.
Konstruisati na datoj pravoj u datoj tački na njoj pravolinijski ugao jednak datom pravolinijskom uglu.
24.
Ako su kod dva trougla dve strane jednog jednake dvema stranama drugog, i to odgovarajućim, i ugao prvog, koji obrazuju strane jednake stranama drugog, veći od takvog ugla drugog trougla, onda je osnovica prvog veća od osnovice drugog.
25.
Ako su kod dva trougla dve strane jednog jednake dvema stranama drugog, i to odgovarajućim, a osnovica prvog je veća od osnovice drugog, onda je i ugao prvog, koji obrazuju strane jednake stranama drugog, veći od takvog ugla drugog trougla.
26.
Ako su kod dva trougla dva ugla jednog jednaki dvama uglovima drugog, i to odgovarajućim, i jedna strana jednog jednaka jednoj strani drugog ili ona na kojoj su jednaki uglovi ili ona što je spram jednog od jednakih uglova, onda su i ostale strane jednake ostalim stranama, i to odgovarajućim, a preostali ugao jednak je preostalom uglu.
27.
Ako prava koja seče druge prave gradi sa njima jednake unutrašnje naizmenične uglove, ove dve prave su paralelne.
28.
Ako prava koja seče druge dve prave gradi sa iste svoje strane spoljašnji ugao jednak odgovarajućem unutrašnjem uglu ili dva unutrašnja ugla sa iste strane jednaka dvama pravim uglovima, ove dve prave paralelne su.
29.
Ako prava seče dve paralelne prave, ona gradi unutrašnje naizmenične uglove jednake, spoljašnji ugao jednak odgovarajućem unutrašnjem uglu i dva unutrašnja ugla sa iste strane jednaka dvama pravim uglovima.
30.
Prave koje su paralelne istoj pravoj paralelne su međusobno.
31.
Kroz datu tačku povući pravu liniju paralelnu datoj pravoj.
32.
U svakom trouglu spoljašnji ugao obrazovan produženjem jedne strane jednak je dvama nesusednim unutrašnjim uglovima, a tri unutrašnja ugla trougla jednaki su dvama pravim uglovima.
33.
Prave što spajaju sa istih strana krajeve jednakih i paralelnih duži same su jednake i paralelne.
34.
Kod paralelograma su naspramne strane i uglovi jednaki međusobno i dijagonala ga polovi.
35.
Paralelogrami sa istom osnovicom između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
36.
Paralelogrami sa jednakim osnovicama između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
37.
Trouglovi sa istom osnovicom između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
38.
Trouglovi sa jednakim osnovicama između istih paralelnih jednaki su jedan drugom.
39.
Jednaki trouglovi sa istom osnovicom i sa iste njene strane leže između istih paralelnih.
40.
Jednaki trouglovi sa jednakim osnovicama sa iste strane od njih leže između istih paralelnih.
41.
Ako paralelogram ima istu osnovicu sa nekim trouglom i ako leže između istih paralelnih, onda je paralelogram dvaput veći od trougla.
42.
U datom pravolinijskom uglu konstruisati paralelogram jednak datom trouglu.
43.
U svakom paralelogramu dopune paralelogramima na dijagonali jednake su.
44.
Na datoj duži konstruisati u datom pravolinijskom uglu paralelogram jednak datom trouglu.
45.
U datom pravolinijskom uglu konstruisati paralelogram jednak datoj pravolinijskoj slici.
46.
Na datoj duži konstruisati kvadrat.
47.
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani spram pravog ugla (na hipotenuzi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama).
48.
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stranama, onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav. |