33.
Prave što spajaju sa istih strana krajeve jednakih i paralelnih duži same su jednake i paralelne.
Neka su AB, GD jednake i paralelne duži i AG, BD prave koje spajaju sa istih strana njihove krajeve. Tvrdim da su AG, BD takođe jednake i paralelne.
Povuče se BG. Pošto je AB paralelno GD, a BG je njihova transverzala, unutrašnji naizmenični uglovi ABG, BGD jednaki su [I. 29]; i pošto je AB jednako GD, a BG je zajedničko, to su dve strane AB, BG jednake, dvema stranama BG, GD, a takođe i ugao ABG jednak uglu BGD, zbog čega je i osnovica AG jednaka osnovici BD, i trougao ABG jednak trouglu BGD, pa i ostali uglovi jednaki ostalim uglovima, i to odgovarajućim, koji leže spram jednakih strana [I. 4]. Zato je i ugao AGB jednak uglu GBD. I pošto transverzala BG sa dve prave AG, BD čini jednake unutrašnje naizmenične uglove, to je AG paralelna BD [I. 27]. A ranije je pokazano da su one i jednake.
Na ovaj način, prave što spajaju sa istih strana krajeve jednakih i paralelnih duži same su jednake i paralelne. A to je trebalo dokazati.