13.

Ako prava povučena nad pravom obrazuje uglove, moraju ti uglovi biti ili oba pravi ili obrazovati zajedno dva prava ugla.






Ako je već ugao GBA jednak uglu ABD, oni su dva prava ugla [Def. 10]. Ako nije, povuče se iz tačke B prava BE pod pravim uglom prema GD [I. 11]; tada su GBE, EBD dva prava ugla; i pošto je ugao GBE jednak dvama uglovima GBA i ABE; onda, ako se doda isti ugao EBD, dva ugla GBE, EBD su jednaki trima uglovima GBA, ABE, EBD [A. 2]. S druge strane, pošto je ugao DBA jednak uglovima DBE, EBA, to, ako se doda isti ugao ABG, dva ugla DBA, ABG jednaki su trima uglovima DBE, EBA, ABG [A. 2]. Kako je ranije pokazano uglovi GBE, EBA jednaki su istim trima uglovima, a ono što je jednako istom, jednako je međusobno [A. 1], znači uglovi GBE, EBD su jednaki uglovima DBA, ABG. Ali su uglovi GBE, EBD dva prava ugla, to onda i uglovi DBA, ABG zajedno sačinjavaju dva prava ugla.
Dakle, ako prava podignuta nad pravom obrazuje uglove, ti uglovi moraju biti ili oba pravi ili obrazovati zajedno dva prava ugla. A to je trebalo dokazati.