48.
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stranama, onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav.
U trouglu ABG kvadrat na jednoj njegovoj strani BG jednak je kvadratima na stranama BA, AG. Tvrdim da je ugao BAG prav.
Neka se povuče kroz tačku A prava AD upravna na AG, prenese AD jednako AB i spoje tačke D i G. Pošto je DA jednako AB, onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB. Ako se svakom od njih doda kvadrat na AG, biće kvadrati na DA, AG jednaki kvadratima na BA, AG. Ali kvadratima na BA, AG jednak je kvadrat na DG, jer je ugao DAG prav [I. 47]. I kvadratima na BA, AG jednak je kvadrat na BG, jer je to pretpostavljeno. Prema tome je kvadrat na DG jednak kvadratu na BG; a stoga i strana DG jednaka strani BG. Pošto je strana DA jednaka strani AB, a AG je zajednička strana, to su dve strane DA, AG jednake dvema stranama BA, AG, a i osnovica DG jednaka osnovici BG. Odatle je ugao DAG jednak uglu BAG [I. 8]. Ali ugao DAG je prav, pa je i ugao BAG prav.
Dakle, ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stranama, onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav. A to je trebalo dokazati.