EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA XI
Definicije
1. Telo je ono što ima dužinu, širinu i dubinu (visinu).
2. Granica tela je površina.
3. Prava je normalna na ravni ako obrazuje prave uglove sa svima pravima koje je seku i nalaze se u toj ravni.
4. Ravan je normalna na ravni, ako su prave, normalne na preseku tih ravni u jednoj ravni, normalne na drugoj ravni.
5. Nagib duži (prave) prema ravni je ugao između date duži i druge duži koja se dobija kad se kraj date duži u datoj ravni spoji sa podnožjem normale spuštene iz drugog kraja date duži na datu ravan.
6. Nagib ravni prema ravni je oštar ugao između pravih povučenih u svakoj od ravni normalno na presek ravni u istoj tački.
7. Kaže se da je ravan prema ravni podjednako nagnuta kao i druga ravan prema drugoj ravni, ako je nagib prvih ravni jednak nagibu drugih ravni.
8. Paralelne su one ravni koje se ne susreću.
9. Slične prostorne figure su one koje su obuhvaćene sličnim ravnima u jednakom broju.
10. Jednake i slične prostorne figure su one koje su obuhvaćene sličnim ravnima, jednakim po broju i po veličini.
11. Rogalj (telesni ugao) je uzajamni nagib više od dve linije, koje se susreću u istoj tački i ne nalaze se u istoj površini. Ili drukčije: rogalj (telesni ugao) se sastoji od više od dva ravna ugla, koji se ne nalaze u istoj ravni i sastaju se u istoj tački.
12. Piramida je prostorna figura sastavljena od ravni konstruisanih nad jednom ravni prema jednoj tački.
13. Prizma je prostorna figura sastavljena od ravni, od kojih su dve, naspramne, jednake, slične i paralelne, a ostale su paralelogrami.
14. Ako prečnik polukruga ostaje nepokretan, a polukrug se oko njega obrće i vrati u položaj iz kojeg je počeo kretanje, obuhvaćena figura je sfera (lopta).
15. Osa sfere je nepokretna prava, oko koje se obrće polukrug.
16. Centar sfere je isto što i centar polukruga.
17. Prečnik (dijametar) sfere je svaka duž što prolazi kroz centar, a ograničena je sa oba kraja sfernom površinom.
18. Ako jedan krak pravog ugla (jedna kateta) pravouglog trougla ostaje nepokretan, a trougao se oko te prave obrće i vrati u položaj iz kojeg je počeo kretanje, obuhvaćena figura je konus (kupa). Ako je nepokretan krak pravog ugla jednak drugom kraku tog ugla, koji se obrće, konus je pravougli, ako je manji - tupougli, a ako je veći - oštrougli.
19. Osa je konusa nepokretna prava oko koje se trougao obrće.
20. Osnova je konusa krug koji opisuje pokretna duž.
21. Ako jedan krak pravog ugla pravouglog paralelograma ostaje nepokretan, a paralelogram se oko tog kraka obrće i vrati u položaj iz kojeg je počeo kretanje, obuhvaćena figura je cilindar (valjak).
22. 22. Osa je cilindra nepokretna prava, oko koje se obrće paralelogram.
23. Osnove su cilindra krugovi, koje opisuju one dve naspramne strane paralelograma koje se obrću.
24. Slični su oni konusi i cilindri, čije su ose i prečnici osnova proporcionalni.
25. Kocka (kub) je prostorna figura obuhvaćena sa šest jednakih kvadrata.
26. Oktaedar je prostorna figura obuhvaćena sa osam jednakih i ravnostranih trouglova.
27. Ikosaedar je prostorna figura obuhvaćena sa dvadeset jednakih i ravnostranih trouglova.
28. Dodekaedar je prostorna figura obuhvaćena sa dvanaest jednakih, jednakostranih i jednakouglih petouglova.
1.
Jedan deo prave linije ne može se nalaziti u nekoj, osnovnoj, ravni, a drugi deo biti izdignut iznad te ravni.
2.
Ako dve prave seku jedna drugu, one su u istoj ravni; i svaki trougao je u istoj ravni.
3.
Ako dve ravni seku jedna drugu, njihov presek je prava.
4.
Prava povučena kroz presečnu tačku dve prave pod pravim uglovima prema svakoj od njih biće pod pravim uglom i prema ravni tih pravih.
5.
Tri prave sa zajedničkom tačom su u istoj ravni, ako postoji prava koja prolazi kroz tu zajedničku tačku i upravna je na svakoj od tih pravih.
6.
Ako su dve prave upravne na istoj ravni, one su paralelne.
7.
Ako postoje dve paralelne prave i na svakoj od njih je uzeta po jedna proizvoljna tačka, biće prava što ih spaja u istoj ravni sa paralelnim.
8.
Ako su dve prave paralelne i jedna od njih upravna na nekoj ravni, biće i druga upravna na toj ravni.
9.
Prave paralelne istoj pravoj, koje se sa ovom ne nalaze u istoj ravni, paralelne su među sobom.
10.
Ako su dve prave, koje se seku, paralelne sa dvema pravima, koje se seku, no ne nalaze se sa ovima u istoj ravni, one obrazuju jednake uglove.
11.
Iz date tačke van ravni povući pravu upravnu na tu ravan.
12.
Na datoj ravni kroz tačku na njoj podići normalu na ravan.
13.
Ne mogu se podići kroz istu tačku dve normale na istoj ravni.
14.
Ravni upravne na istoj pravoj paralelne su.
15.
Ako su dve prave, koje se seku, paralelne dvema drugim pravima, koje se seku, a ne nalaze se u istoj ravni, njihove ravni su paralelne.
16.
Ako se dve paralelne ravni preseku nekom ravni, njihovi zajednički preseci paralelni su.
17.
Ako se dve prave preseku paralelnim ravnima, njihovi otsečci su u istoj razmeri.
18.
Ako je prava upravna na nekoj ravni, svaka ravan što prolazi kroz tu pravu, upravna je na toj ravni.
19.
Ako su dve ravni, koje se seku, normalne na nekoj ravni, biće i njihov presek normalan na istoj ravni.
20.
Ako je rogalj obuhvaćen sa tri ravna ugla, zbir ma koja dva od njih je veći od trećeg.
21.
Svaki rogalj je obuhvaćen ravnim uglovima, čiji je zbir manji od četiri prava ugla.
22.
Ako postoje tri ravna ugla, od kojih je zbir dva proizvoljno uzeta, veći od preostalog, a obrazuju ih jednake duži onda je moguće konstruisati trougao od duži koje spajaju krajeve jednakih duži.
23.
Od tri ravna ugla, od kojih je zbir dva, proizvoljno uzeta, veći od preostalog, konstruisati rogalj. Pri tome treba da zbir ta tri ravna ugla bude manji od četiri prava ugla.
Lema
Kako uzeti kvadrat na XP da on bude jednak površini za koju je kvadrat na AB veći od kvadrata na LX, pokazaćemo ovako.
24.
Ako je telo obuhvaćeno paralelnim ravnima, naspramne ravni su jednaki paralelogrami.
25.
Ako je paralelepiped presečen sa ravni paralelnom njegovim suprotnim paralelnim ravnima, odnosiće se osnova prema osnovi kao telo prema telu.
26.
Na datoj pravoj i u datoj tački na njoj konstruisati rogalj jednak datom roglju.
27.
Na datoj pravoj konstruisati paralelepiped sličan i u sličnom položaju prema datom paralelepipedu.
28.
Ako ravan, koja preseca paralelepiped, prolazi kroz dijagonale naspramnih strana, telo je prepolovljeno tom ravni.
29.
Paralelepipedi sa istom osnovom, istom visinom i bočnim ivicama čiji su krajevi na istim pravima - jednaki su među sobom.
30.
Paralelepipedi sa istom osnovom, istom visinom i bočnim ivicama čiji krajevi nisu na istim pravima - jednaki su među sobom.
31.
Paralelepipedi sa jednakim osnovama i istom visinom jednaki su među sobom.
32.
Paralelepipedi sa istom visinom se odnose jedan prema drugom kao osnove.
33.
Razmera sličnih paralelepipeda je triput viša od razmere homolognih ivica.
Posledica
Odavde je jasno da će, ako su četiri duži proporcionalne, biti prva prema četvrtoj kao paralelepiped na prvoj prema sličnom i slično konstruisanom paralelepipedu na drugoj, pošto je prva prema četvrtoj u triput višoj razmeri od razmere prve prema drugoj.
34.
Kod paralelepipeda jednake zapremine osnove su obrnuto proporcionalne visinama. I ako su kod paralelepipeda osnove obrnuto proporcionalne visinama, oni su jednake zapremine.
35.
Ako su data dva jednaka ravna ugla i kroz njihova temena povučene, iznad ravni tih uglova, prave, koje koje obrazuju jednake uglove sa kracima uglova, svaka sa svakim, pa se na povučenim pravima uzmu proizvoljne tačke i iz njih spuste normale na ravni polaznih uglova, i podnožja tih normala spoje sa temenima polaznih uglova, biće uglovi između tih spojnica i van ravni povučenih pravih jednaki među sobom.
Posledica
Iz ovog je jasno, da ako postoje dva jednaka ravna ugla i ako su kroz njihova temena povučene iznad ravni tih uglova jednake duži, koje obrazuju jednake uglove sa kracima polaznih uglova, svaka sa svakim, biće normale, povučene iz krajeva tih duži na ravni polaznih uglova, jednake među sobom. A to je trebalo dokazati.
36.
Ako su tri duži (neprekidno) proporcionalne, biće zapremina paralelepipeda sastavljenog od njih (kao ivica) jednaka zapremini jednakoivičnog paralelepipeda, sastavljenog od srednje duži sa uglovima jednakim uglovima polaznog (paralelepipeda).
37.
Ako su četiri duži proporcionalne, proporcionalni su i slični paralelepipedi, slično konstruisani na tim dužima. I ako su slični paralelepipedi, a slično konstruisani na dužima, proporcionalni, onda su proporcionalne i same ove duži.
38.
Ako su ivice naspramnih strana kocke (kuba) prepolovljene i kroz deone tačke povučene ravni, zajednički presek tih ravni i dijagonala kocke se polove.
39.
Ako je kod jedne od dve prizme sa istom visinom osnova paralelogram, a kod druge trougao i paralelogram dvaput veći od trougla, prizme su jednake. |