26.

Na datoj pravoj i u datoj tački na njoj konstruisati rogalj jednak datom roglju.






Neka je data prava AB i na njoj data tačka, tačka A; i dat je rogalj kod tačke D obuhvaćen ravnim uglovima EDG, EDZ i ZDG. Treba na pravoj AB i u datoj tački A na njoj konstruisati rogalj jednak roglju kod tačke D.
Zaista, uzmimo na DZ proizvoljnu tačku Z i povucimo kroz Z normalu ZH na ravan pravih ED i DG; neka ona proseca tu ravan u tački H [XI.11], pa povucimo DH; i na pravoj AB u njenoj tački A konstruišimo ugao BAL jednak uglu EDG, ugao BAK jednak uglu EDH [I.23]; odmerimo AK jednako DH, postavimo kroz tačku K normalu KQ na ravni BAL [XI.12], odmerimo KQ jednako HZ, i spojimo QA. Tvrdim da je ravnim uglovima BAL, BAQ i QAL obuhvaćen rogalj kod tačke A jednak uglovima EDG, EDZ i ZDG obuhvaćenom roglju kod tačke D.
Zaista, odmerimo jednake duži AB i DE i spojimo QB, KB, ZE i HE. Pošto je ZH normala na osnovnoj ravni, ona čini prav ugao sa svakom pravom koja je seče i nalazi se u osnovnoj ravni. Znači da je prav i svaki od uglova ZHD i ZHE. Iz istih razloga je prav i svaki od uglova QKA i QKB. I pošto su dve duži KA i AB jednake dvema dužima HD i DE, svaka svakoj, i obuhvataju jednake uglove, biće osnovica KB jednaka osnovici HE [I.4]. Isto tako je i KQ jednako KZ, i obuhvataju prave uglove. Prema tome je i QB jednako ZE [I.4]. Dalje, pošto su dve duži AK i KQ jednake dvema dužima DH i HZ, i obuhvataju prave uglove, biće osnovica AQ jednaka osnovici ZD [I.4]. A i AB je jednako DE. Pa su dve duži QA i AB jednake dvema dužima DZ i DE. I osnovica QB jednaka je osnovici ZE. Prema tome je ugao BAQ jednak uglu EDZ [I.8]. Iz istih razloga je i ugao QAL jednak uglu ZDG [ako odmerimo jednake AL i DG pa povučemo KL, QL, HG, ZG, pošto je ceo ugao BAL jednak celom uglu EDG, a i deo BAK jednak je delu EDH, biće i ostatak, ugao KAL, jednak ostatku, uglu HDG. I pošto su dve duži KA i AL jednake dvema dužima HD i DG i obuhvataju jednake uglove, biće osnovica KL jednaka osnovici HG. A i KQ jednako je HZ. Dakle dve duži LK i KQ jednake su dvema dužima GH i HZ i obuhvataju prave uglove. Znači osnovica QL jednaka je osnovici ZG. A kako su dve duži QA i AL jednake dvema dužima ZD i DG i osnovica QL jednaka osnovici ZG, biće ugao QAL jednak uglu ZDG]. Isto tako je i ugao BAL jednak uglu EDG.
Na ovaj način, na datoj pravoj i u datoj tački na njoj konstruisan je rogalj jednak datom roglju. A to je trebalo izvesti.