18.

Ako je prava upravna na nekoj ravni, svaka ravan što prolazi kroz tu pravu, upravna je na toj ravni.

Zaista, neka je neka prava AB upravna na osnovnoj ravni. Tvrdim da je svaka ravan što prolazi kroz AB upravna na osnovnoj ravni.
Zaista, povucimo kroz AB ravan DE i neka je GE presek ravni DE sa osnovnom ravni. Uzmimo na GE proizvoljnu tačku Z i povucimo kroz Z, u ravni DE, ZH upravno na GE [I.11]. Pošto je AB upravna na osnovnoj ravni, biće AB upravna na svakoj pravoj u osnovnoj ravni koja je seče [XI, Def. 3]. Stoga će ona biti upravna i na GE. I ugao ABZ je prav. A prav je i ugao HZB. Prema tome je AB paralelna sa ZH [I.28]. No prava AB je upravna na osnovnoj ravni, te znači da je i prava ZH upravna na osnovnoj ravni [XI.8]. A ravan je upravna na ravni, ako prave u jednoj od njih, upravne na presečnoj pravoj, stoje upravno na drugoj ravni [XI, Def. 4]. Ali dokazali smo da je prava ZH, povučena u ravni DE upravno na pravoj preseka GE, upravna na osnovnoj ravni. Pa prema tome je ravan DE upravna na osnovnoj ravni. Na sličan način se dokazuje da je i svaka ravan, povučena kroz AB, upravna na osnovnoj ravni.
Na ovaj način, ako je prava upravna na nekoj ravni, svaka ravan što prolazi kroz tu pravu upravna je na toj ravni. A to je trebalo dokazati.