EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA III
Definicije
1. Jednaki su oni krugovi kod kojih su jednaki prečnici ili poluprečnici.
2. Tvrdi se da prava dodiruje krug, ako susreće krug i produžena, ne seče krug.
3. Tvrdi se da krugovi dodiruju jedan drugog, ako se susreću no se ne seku.
4. Tvrdi se da su tetive kruga na istom rastojanju od centra, ako su normale spuštene iz centra na tetive jednake.
5. Tvrdi se da je više udaljena ona (tetiva), na koju je spuštena normala veća.
6. Otsečak (segment) kruga je slika ograničena tetivom i lukom.
7. Ugao otsečka je onaj koji je obuhvaćen tetivom i lukom.
8. Ugao upisan u otsečak je ugao obrazovan od pravih povučenih iz neke tačke uzete na luku otsečka ka krajevima tetive, koja je baza otsečka.
9. Ako prave, koje obrazuju ugao, zahvataju neki luk, za ugao se tvrdi da se oslanja na taj luk.
10. Isečak kruga je slika ograničena poluprečnicima kruga, koji pri centru obrazuju ugao, i njima zahvaćenim lukom.
11. Slični su oni otsečci krugova, koji imaju jednake uglove ili su im upisani uglovi jednaki.
1.
Naći centar datog kruga.
Posledica
Odavde je jasno, da ako tetiva polovi neku drugu tetivu i seče je pod pravim uglom, na onoj koja seče leži centar kruga. - A to je trebalo izvesti.
2.
Ako su na periferiji kruga uzete dve proizvoljne tečke, duž koja spaja te tačke pada u krug.
3.
Ako prava u krugu, koja prolazi kroz centar (prečnik), polovi neku drugu pravu, koja ne prolazi kroz centar (tetivu), onda ona seče tu drugu pod pravim uglovima; i ako seče pod pravim uglovima, ona je polovi.
4.
Ako u krugu dve prave seku jedna drugu, no ne prolaze kroz centar, one ne polove jedna drugu.
5.
Ako se dva kruga seku, oni nemaju isti centar.
6.
Ako se dva kruga dodiruju, oni nemaju isti centar.
7.
Ako na prečniku kruga uzmemo neku tačku, koja nije centar kruga, i kroz tu tačku povučemo ka krugu neke prave linije, biće najveća ona na kojoj je centar, najmanja je njen ostatak; od drugih je uvek ona, koja je bliža pravoj što prolazi kroz centar, veća od one, koja je udaljenija; i samo dve jednake prave se mogu povući iz tačke ka krugu i to po jedna sa svake strane od najmanje.
8.
Ako je iz neke tačke, uzete van kruga, povučeno ka krugu nekoliko pravih, od kojih jedna kroz centar, a ostale ma kako, biće od pravih koje su povUčene prema udubljenoj periferiji najveća ona koja prolazi kroz centar, a od ostalih biće uvek ona koja je bliža pravoj što prolazi kroz centar veće od udaljenijih; a od pravih, koje su povučene prema ispupčenoj periferiji, najmanja je između tačke i prečnika, od ostalih je uvek ona koja je bliža najmanjoj pravoj manje od udaljenijih; i samo se dve jednake prave mogu povući iz tačke ka krugu i to po jedna sa svake strane od najmanje tačke.
9.
Ako je u krugu uzeta tačka i iz te tačke povučeno ka krugu više od dve jednake prave, uzeta tačka je centar kruga.
10.
Krug ne seče krug u više od dve tačke.
11.
Ako se dva kruga dodiruju iznutra i uzeti su njihovi centri, prava, koja prolazi kroz te centre, produžena, prolazi kroz tačku dodira krugova.
12.
Ako se dva kruga dodiruju spolja, prava, koja spaja njihove centre, prolazi i kroz tačku dodira.
13.
Krug ne dodiruje drugi krug u više tačaka sem u jednoj bilo da se dodiruju iznutra bilo spolja.
14.
U krugu su jednake tetive podjednako udaljene od centra i tetive, podjednako udaljene od centra, jednake su.
15.
Prečnik je najveća tetiva u krugu; od ostalih tetiva je ona, koja je bliža centru, uvek veća od udaljenijih.
16.
Normala na prečnik kruga na njegovom kraju leži van kruga; u oblasti između te normale i kruga ne nalazi se nikakva druga prava i ugao polukruga je veći od svakog pravolinijskog oštrog ugla, a njegov ostatak manji od takvog ugla.
Posledica
Odavde je jasno da prava povučena normalno na prečnik u kraju tog prečnika dodiruje krug (i da prava dodiruje krug samo u jednoj tački i da se dokazuje da se prava koja ima sa krugom dve zajedničke tačke nalazi u krugu). A to je trebalo dokazati.
17.
Iz date tačke povući dodirnu pravu na dati krug.
18.
Ako prava dodiruje krug i iz centra je povučena prava do tačke dodira, onda ta prava stoji upravno na tangenti.
19.
Ako prava dodiruje krug i kroz tačku dodira je povučena prava normalna na tangentu, onda se na povučenoj pravoj nalazi centar kruga.
20.
U krugu je ugao sa temenom u centru (centralni ugao) jednak dvostrukom uglu sa temenom na periferiji (periferijskom uglu), ako se ti uglovi oslanjaju na isti luk.
21.
U krugu su uglovi, upisani u isti otsečak, međusobno jednaki.
22.
U četvorouglovima upisanim u neki krug zbir naspramnih uglova je jednak dvama pravim uglovima.
23.
Nad istom duži sa iste strane nemoguće je konstruisati dva kružna otsečka slična i nejednaka.
24.
Slični kružni otsečci (segmenti) nad jednakim dužima međusobno su jednaki.
25.
Dati kružni otsečak dopuniti krugom, čiji je to otsečak.
26.
U jednakim krugovima međusobno su jednaki luci, ako su nad njima bilo centralni bilo periferijski uglovi jednaki.
27.
U jednakim krugovima međusobno su jednaki uglovi, ako su oni bilo centralni bilo periferijski nad jednakim lucima.
28.
U jednakim krugovima jednake tetive otsecaju jednake lukove, veći jednak je većem, manji-manjem.
29.
U jednakim krugovima jednake lukove stežu jednake tetive.
30.
Prepolovimo dati luk.
31.
U krugu je ugao u polukrugu prav, ugao u kružnom otsečku većem od polukruga manji od pravog, a u otsečku manjem od polukruga veći od pravog; i ugao otsečka većeg od polukruga je veći od pravog, a ugao otsečka manjeg od polukruga manji od pravog.
Posledica
Otuda je jasno da ako je u trouglu jedan ugao jednak zbiru dvaju ostalih, taj ugao je prav, jer je i njegov uporedni ugao isto tako jednak tom zbiru. A kad su uporedni uglovi jednaki, oni su pravi.
32.
Ako prava dodiruje krug i kroz tačku dodira je povučena prava koja preseca krug, onda su uglovi između te prave i tangete jednaki uglovima u naizmeničnim kružnim otsečcima.
33.
Na datoj duži konstruisati kružni otsečak u kome je upisani ugao jednak datom pravolinijskom uglu.
34.
Od datog kruga otseći segment sa upisanim uglom jednakim datom pravolinijskom uglu.
35.
Ako se u krugu dve tetive međusobno seku, biće pravougaonik obuhvaćen otsečcima jedne tetive jednak pravougaoniku obuhvaćenom otsečcima druge.
36.
Ako je van kruga uzeta neka tačka i iz te tačke su povučene ka krugu dve prave, od kojih jedna seče krug, a druga ga dodiruje, onda je pravougaonik od cele sečice i njenog otsečka između uzete tačke i ispupčenog luka jednak kvadratu na tangenti.
37.
Ako je van kruga uzeta neka tačka i iz te tačke su povučene ka krugu dve prave, od kojih jedna seče krug a druga samo stiže do njega, i ako je pri tome pravougaonik od cele sečice i njenog otsečka između uzete tačke i ispupčenog luka jednak kvadratu na onoj pravoj što stiže do kruga, onda poslednja prava dodiruje krug. |