14.

U krugu su jednake tetive podjednako udaljene od centra i tetive, podjednako udaljene od centra, jednake su.

Neka ABGD bude krug i u njemu jednake tetive AB, GD. Tvrdim da su AB i GD podjednako udaljene od centra.
Uzmimo u krugu ABDG centar [III.1] i neka to bude tačka E i iz E povucimo na AB i GD normale EZ i EH i nacrtajmo EA i EG.
Pošto prava EZ, koja prolazi kroz centar, seče pravu AB, koja ne prolazi kroz centar, pod pravim uglovima, ona polovi tu pravu [III.3]. Stoga je AZ jednako ZB. Prema tome je AB dvostruko AZ. Iz istih razloga je GD dvostruko GH. A pošto je AB jednako GD, biće i AZ jednako GH. Pošto je AE jednako EG, biće i kvadrat na AE jednak kvadratu na EG. Ali kvadrat na AE jednak je zbiru kvadrata na AZ i na AZ, jer je ugao kod Z prav [I.47]. Isto tako, kvadrat na EG je jednak zbiru kvadrata na EH i na HG, jer je ugao kod H prav. Prema tome je zbir kvadrata na AZ i na ZE jednak zbiru kvadrta na GH i na HE; ali kvadrat na AZ jednak je kvadratu na GH, jer je AZ jednako GH, pa prema tome je preostali kvadrat na ZE jednak preostalom kvadratu na EH, a zbog toga je i EZ jednako EH. Kako se za tetive, za koje su jednake normale spuštene na njih iz centra, kaže da su podjednako udaljene od centra [III, Def. 4], biće AB i GD podjednako udaljene od centra.
Sad neka AB i GD budu tetive podjednako udaljene od centra, tj. neka je EZ jednako EH. Tvrdim da je AB jednako GD.
Zaista, iz iste konstrukcije se na sličan način dokazuje da je AB dvostruko AZ, a GD je dvostruko GH; i pošto je AE jednako GE, biće i kvadrat na AE jednak kvadratu na GE. No kvadrat na AE je jednak zbiru kvadrata na EZ i ZA, a kvadrat na GE jednak zbiru kvadrata na EH i HG [I.47]. Prema tome je zbir kvadrata na EZ i na ZA jednak zbiru kvadrata na EH i na HG; ali kvadrat na EZ je jednak kvadratu na EH, jer je EZ jednako EH. Prema tome je preostali kvadrat na AZ jednak kvadratu na GH, a zbog toga i AZ jednako GH. A pošto je dvostruko AZ jednako AB, a dvostruko GH jednako GD, biće stoga i AB jednako GD.
Na ovaj način, u krugu su jednake tetive podjednako udaljene od centra, i tetive, podjednako udaljene od centra, jednake su. A to je trebalo izvesti.