22.
U četvorouglovima upisanim u neki krug zbir naspramnih uglova je jednak dvama pravim uglovima.
Neka je ABGD krug i ABGD u njega upisani četvorougao. Tvrdim da je zbir naspramnih uglova jednak dvama pravim uglovima.
Povucimo AG i BD.
Pošto je u svakom trouglu zbir tri ugla jednak dvama pravim [I.32], biće u trouglu ABG zbir tri ugla GAB, ABG, BGA jednak dvama pravim. Ali ugao GAB je jednak uglu BDG, jer su istom otsečku BADG i ugao AGB je jednak uglu ADB, jer su u istom otsečku ADGB [III.21]. Prema tome je ceo ugao ADG jednak zbiru uglova BAG i AGB. Dodajmo im zajednički ugao ABG. Stoga je zbir uglova ABG, BAG, AGB jednak zbiru ABG i ADG. Međutim, zbir uglova ABG, BAG, AGB jednak je dvama pravim, pa je i zbir ABG i ADG jednak dvama pravim. Na sličan način se dokazuje da je i zbir uglova BAD i DGB jednak dvama pravim.
Na ovaj način je u četvorouglovima upisanim u neki krug zbir naspramnih uglova je jednak dvama pravim uglovima. A to je trebalo dokazati.