37.

Ako je van kruga uzeta neka tačka i iz te tačke su povučene ka krugu dve prave, od kojih jedna seče krug a druga samo stiže do njega, i ako je pri tome pravougaonik od cele sečice i njenog otsečka između uzete tačke i ispupčenog luka jednak kvadratu na onoj pravoj što stiže do kruga, onda poslednja prava dodiruje krug.



Uzmimo tačku D van kruga ABG i neka su iz tačke D ka krugu ABG povučene prave DGA, DB i neka DGA seče krug, a DB pridolazi mu i pri tome je pravougaonik od AD i DG jednak kvadratu na DB. Tvrdim da prava DB dodiruje krug ABG.
Povucimo pravu DE, tangentu na krugu ABG, i uzmimo centar kruga ABG, neka to bude tačka Z, i povucimo ZE, ZB, ZD. Tada je ugao ZED prav [III.18]. Pošto DE dodiruje krug, a prava DGA ga seče, biće pravougaonik od AD i DG jednak kvadratu na DE [III.36]. Ali taj pravougaonik na AD i DG jednak je kvadratu na DB. Prema tome je kvadrat na DE jednak kvadratu na DB. Znači i DE je jednako DB. A i ZE je jednako ZB. Na taj način dve strane DE i EZ su jednake dvema stranama DB i BZ, a njihova osnovica je zajednička ZD. Odavde sleduje da je ugao DEZ jednak uglu DBZ [I.8]; ali ugao DEZ je prav, pa prema tome je i ugao DBZ prav. I duž ZB, produžena, je prečnik. A prava povučena kroz kraj prečnika upravno na prečnik dodiruje krug [III.16, Posledica]. Prema tome, prava DB, dodiruje krug ABG. Slično se dokazuje, ako bi se centar nalazio na pravoj AG.
Na ovaj način, ako je van kruga uzeta neka tačka i iz te tačke su povučene dve prave, od kojih jedna seče krug a druga samo stiže do njega i ako je pri tome pravougaonik od cele sečice i njenog otsečka između uzete tačke i ispupčenog luka jednak kvadratu na onoj pravoj što stiže do kruga, onda poslednja prava dodiruje krug. A to je trebalo dokazati.