31.

U krugu je ugao u polukrugu prav, ugao u kružnom otsečku većem od polukruga manji od pravog, a u otsečku manjem od polukruga veći od pravog; i ugao otsečka većeg od polukruga je veći od pravog, a ugao otsečka manjeg od polukruga manji od pravog.

Neka ABGD bude krug, BG je njegov prečnik, tačka E centar; pa povucimo BA, AG, AD, DG. Tvrdim da je ugao BAG u polukrugu BAG prav, da je ugao ABG u kružnom otsečku ABG, većem od polukruga, manji od pravog ugla, a ugao ADG u kružnom otsečku ADG, manjem od polukruga, veći pravog.
Povucimo AE i produžimo BA do Z.
Pošto je BE jednako EA, biće ugao ABE jednak uglu BAE [I.5]. Dalje, pošto je GE jednako EA, ugao AGE je jednak uglu GAE [I.5]. Odavde je ceo ugao BAG jednak zbiru dvaju uglova ABG i AGB. Međutim i ugao ZAG, kao spoljašnji ugao trougla ABG, jednak je zbiru dvaju uglova ABG i AGB [I.32]. Prema tome je ugao BAG jednak uglu ZAG, što znači da je svaki od njih prav [I, Def. 10]. Na taj način je ugao BAG u polukrugu BAG prav.
Pošto je u trouglu ABG zbir dvaju uglova ABG i BAG manji od dva prava ugla [I.17], a jedan je BAG prav, biće ugao ABG manji od pravog, a on je u kružnom otsečku većem od polukruga.
Pošto je ABGD četvorougao u krugu, a kod četvorouglova u krugovima zbir zbir naspramnim uglova jednak dvama pravim [III.22] (zbog toga je zbir uglova ABG i ADG jednak dvama pravim), a ugao ABG je manji od pravog, biće preostali ugao ADG veći od pravog, a pri tome je kružni otsečak ADG manji od polukruga.
Tvrdim da je i ugao većeg kružnog otsečka zahvaćenog lukom ABG i tetivom AG veći od pravog, a ugao manjeg kružnog otsečka zahvaćenog lukom AD (G) i tetivom AG manji od pravog. To je samo po sebi jasno. Naime, pošto je ugao između pravih BA i AG prav, biće ugao zahvaćen lukom ABG i tetivom AG veći od pravog. Isto tako, pošto je ugao između pravih AG i AZ prav, biće ugao zahvaćen pravom GA i lukom AD (G) manji od pravog.
Na ovaj način, u krugu je ugao u polukrugu prav, ugao u kružnom otsečku većem od polukruga manji od pravog, a u otsečku manjem od polukruga veći od pravog; i ugao otsečka većeg od polukruga je veći od pravog ugla, a ugao otsečka manjeg od polukruga manji od pravog. A to je trebalo dokazati.