10.

Krug ne seče krug u više od dve tačke.

Neka bude moguće da krug ABG seče krug DEZ u tačkama kojih je više od dve i to u B, H, Z, Q i neka budu povučene prave BQ i BH, prepolovljene tačkama K i L; i neka se prave KG, LM povučene kroz tačke K i L upravno na QB i BH, produži do tačaka A i E.
Pošto u krugu ABG prava AG polovi pravu BQ i seče je pod pravim uglovima, biće centar kruga ABG na pravoj AG [III.1, Posledica]. Isto tako, pošto u istom krugu ABG prava NX polovi pravu BH i seče je pod pravim uglovima, biće centar kruga ABG i na pravoj NX. A dokazano je da je on na pravoj AG. Ali prave LG i NX ne seku se ni u kojoj drugoj tački sem u tački O. Prema tome je tačka O centar kruga ABG. Na isti način se dokazuje da je tačka O centar i kruga DEZ. Prema tome dva kruga ABG i DEZ, koji se seku imaju isti centar O, a to je nemoguće [III.5].
Na ovaj način, krug ne seče krug u više od dve tačke. A to je trebalo dokazati.