25.
Dati kružni otsečak dopuniti krugom, čiji je to otsečak.
Neka je dat kružni otsečak ABG. Treba taj otsečak ABG dopuniti krugom, čiji je to otsečak.
Prepolovimo AG tačkom D i povucimo kroz tačku D pravu AB upravnu na AG i zatim povucimo pravu AB. Tada ugao ABD može biti veći, jednak ili manji od ugla BAD.
Neka, prvo, bude veći; tada konstruišimo na pravoj BA kod tačke A ugao BAE jednak uglu ABD i produžimo BD do tačke E pa nacrtajmo EG. Pošto je sad ugao ABE, jednak uglu BAE, biće i prava EB jednaka pravoj EA [I.6], a kako je AD jednako DG, a DE je zajednička, biće dve strane AD i DE jednake dvema odnosnim stranama, GD i DE, i ugao ADE je jednak uglu GDE, jer je svaki prav, pa je stoga i osnovica AE jednaka osnovici GE. A dokazali smo da je AE jednako BE; prema tome je BE jednako GE. Na taj način su tri duži EA, EB, EG međusobno jednake. Prema tome krug nacrtan iz centra E sa poluprečnikom jednakim jednoj od duži EA, EB, EG prolazi i kroz ostale tačke i dopuna je kružnog otsečka [III.9]. Na taj način to je krug koji dopunjuje dati kružni otsečak. Pri tome je jasno da je otsečak ABG manji od polukruga, jer centar E leži van njega.
Slično se pokazuje da ako je ugao ABD jednak uglu BAD, biće svaka od BD i DG jednaka AD i pri tome tri duži, naime DA, DB, DG, međusobno jednake i tačka D je centar potpunog kruga, a otsečak ABG je polukrug.
Najzad, ako je ABD manji od ugla BAD i konstruišemo na pravoj BA kod tačke A ugao jednak uglu ABD, onda će centar kruga pasti unutra kružnog otsečka na DB, a sam otsečak ABG biče veći od polukruga.
Na ovaj način je dati kružni otsečak dopunjen krugom. A to je trebalo izvesti.