33.
Na datoj duži konstruisati kružni otsečak u kome je upisani ugao jednak datom pravolinijskom uglu.
Neka bude data duž AB i pravolinijski ugao kod tačke G. Treba na duži AB konstruisati kružni otsečak u kome je upisani ugao jednak uglu kod tačke G.
Ugao kod tačke G je ili oštar, ili prav ili tup. Neka je prvo oštar; tada konstruišimo na pravoj AB kod tačke A (kao na prvoj slici) ugao BAD jednak uglu G. Tada će biti i ugao BAD oštar. Povucimo AE upravno na DA i prepolovimo AB tačkom Z, pa povucimo kroz tačku Z pravu ZH upravno na AB i povucimo HB.
Pošto je AZ jednako ZB, a ZH je zajedničko, dve strane AZ i ZH jednake dvema stranama BZ i ZH i ugao AZH jednak uglu BZH, biće zbog toga i osnovica AH jednaka osnovici BH [I.4]. Stoga će krug nacrtan iz centra H sa rastojanjem HA proći i kroz tačku B. Nacrtajmo ga i neka to bude ABE, pa nacrtajmo EB. Pošto je sad prava AD kroz kraj prečnika AE, kroz tačku A, upravna na AE, biće AD tangenta na krug ABE [III.16, Posledica], a prava AB kroz tačku A prececa krug ABE po pravoj AB, biće ugao DAB jednak uglu u naizmeničnom kružnom otsečku AEB [III.32]. Ali ugao DAB jednak je uglu G, ne znači da je uglu G jednak i ugao AEB.
Na ovaj način, na datoj duži AB konstruisan je kružni otsečak AEB sa uglom AEB koji je jednak datom uglu G.
Neka bude sad ugao G prav, pa treba konstruisati na AB kružni otsečak u kome je upisani ugao jednak prvom uglu. Ponovo konstruišimo ugao BAD jednak prvom uglu G, kako je to konstruisano na drugoj slici, i prepolovimo AB tačkom Z, i iz Z kao centra sa jednim od rastojanja ZA ili ZB nacrtajmo krug AEB.
Tada je prava AD tangenta kruga, jer su uglovi kod A pravi [III.16, Posledica], i ugao BAD jednak je uglu kružnog otsečka AEB, jer je ovaj kao ugao polukruga isto tako prav [III.31]. Ali ugao BAD jednak je uglu G, pa je prema tome i ugao u AEB jednak uglu G.
Na ovaj način je ponovo na duži AB konstruisan kružni otsečak AEB, u kome je upisani ugao jednak uglu G.
Neka, najzad, ugao G bude tup. Konstruišimo na pravoj AB kod tačke A, kao što je to nacrtano na trećoj slici, ugao BAD jednak uglu G i povucimo pravu AE upravno na AD, pa zatim prepolovimo AB tačkom Z, i povucimo pravu ZH upravno na AB, pa nacrtajmo HB.
Kako je opet AZ jednako ZB, a ZH je zajedničko, dve strane AZ i ZH jednake dvema stranama BZ i ZH i ugao AZH je jednak uglu BZH, biće i osnovica AH jednaka osnovici BH [I.4]. Pa će prema tome krug nacrtan sa centrom u H i poluprečnikom HA proći kroz tačku B. Neka on tako prođe kao AEB. Pošto AD prolazi kroz kraj upravno na prečnik AE, prava AD dodiruje krug AEB [III.16, Posledica]. A pošto prava AB iz tačke dodira preseca krug, biće ugao BAD jednak uglu u naizmeničnom kružnom otsečku, AQB [III.32]. Ali ugao BAD je jednak uglu G, pa je i ugao AQB upisan u kružni otsečak jednak uglu G.
Na ovaj način je na datoj duži AB konstruisan kružni otsečak AQB u kome je upisani ugao jednak uglu G. A to je trebalo izvesti.