3.
Ako prava u krugu, koja prolazi kroz centar (prečnik), polovi neku drugu pravu, koja ne prolazi kroz centar (tetivu), onda ona seče tu drugu pod pravim uglovima; i ako seče pod pravim uglovima, ona je polovi.
Neka je ABG krug i u njemu prava GD, koja prolazi kroz centar polovi neku pravu AB, koja ne prolazi kroz centar, u tački Z. Tvrdim da prva seče drugu pod pravim uglovima.
Uzmimo centar kruga ABG, neka to bude tačka E, i povucimo EA, EB.
Tada, pošto je AZ jednako ZB, a ZE zajedničko, biće dve (strane) jednake dvema (stranama); pa i osnovica EA jednaka osnovici EB. Zbog toga je ugao AZE jednak uglu BZE [I.8]. A ako prava koja stoji na drugoj pravoj obrazuje međusobno jednake uporedne uglove, biće svaki od njih jednak pravom uglu [I, Def. 10]. Dakle svaki od uglova AZE, BZE je prav. Prema tome prava GD, koja prolazi kroz centar, a polovi pravu AB, koja ne prolazi kroz centar, seče tu pravu pod pravim uglovima.
Neka sad prava GD seče pravu AB pod pravim uglovima. Tvrdim da je ona polovi, tj. da je AZ jednako ZB.
Pošto je, pri istoj konstrukciji, EA jednako EB, ugao EAZ je jednak uglu EBZ [I.5]. I pravi ugao AZE je jednakpravom uglu BZE. Na taj način trouglovi EAZ, EZB imaju dva ugla jednaka dvama uglovima i jednu stranu jednaku jednoj strani, naime zajedničku za njih EZ koja leži spram jednakih uglova. Stoga će i preostala strana biti jednaka preostaloj strani [I.26]. Prema tome je AZ jednako ZB.
Na ovaj način, ako prava u krugu, koja prolazi kroz centar (prečnik), polovi neku drugu pravu, koja ne prolazi kroz centar (tetivu), onda ona seče tu drugu pod pravim uglovima; i ako seče pod pravim uglovima, ona je polovi. A to je trebalo dokazati.