20.
U krugu je ugao sa temenom u centru (centralni ugao) jednak dvostrukom uglu sa temenom na periferiji (periferijskom uglu), ako se ti uglovi oslanjaju na isti luk.
Neka je ABG krug i BEG ugao sa temenom u centru, a BAG sa temenom na periferiji, pri čemu se oni oslanjaju na isti luk BG. Tvrdim da je ugao BEG jednak dvostrukom uglu BAG.
Neka produžena AE seče krug u tački Z.
Pošto je EA jednako EB, biće i ugao EAB jednak uglu EBA [I.5]. Prema tome je zbir uglova EAB i EBA jednak dvostrukom uglu EAB. Međutim, ugao BEZ je jednak zbiru uglova EAB i EBA [I.32], pa je prema tome ugao BEZ dvostruki ugao EAB. Iz istih razloga je i ugao ZEG jednak dvostrukom uglu EAG. Prema tome je i ceo ugao BEG jednak dvostrukom celom uglu BAG.
Povucimo sad drugu izlomljenu liniju i neka drugi ugao bude BDG; duž što spaja D i E produžimo do H. Na sličan način se dokazuje da je ugao HEG dvostruki ugao EDG, a ugao HEB dvostruki ugao EDB. Prema tome je ugao BEG dvostruki ugao BDG.
Na ovaj način u krugu je ugao sa temenom u centru (centralni ugao) jednak dvostrukom uglu sa temenom na periferiji (periferijskom uglu), ako se ti uglovi oslanjaju na isti luk. A to je trebalo dokazati.