13.

Krug ne dodiruje drugi krug u više tačaka sem u jednoj bilo da se dodiruju iznutra bilo spolja.

Neka bude moguće da krug ABDG dodiruje krug EBZD, koji se nalazi u prvom, ne u jednoj već u više tačaka D, B.
Uzmimo centar H kruga ABDG i centar Q kruga EBZD.
Na taj način, prava koja prolazi kroz H i Q prolazi i kroz B i D [III.11]. Dobija se prava BHQD. Pošto je tačka H centar kruga ABDG, biće BH jednako HD; prema tome je BH veće od QD. A BQ je još mnogo veće od QD. Isto tako, pošto je tačka Q centar kruga EBZD, biće BQ jednako QD. Ali smo dokazali da je ona mnogo veća; a to je nemoguće. Prema tome krug ne dodiruje drugi krug iznutra u više tačaka sem u jednoj.
Tvrdim da to ne postoji ni pri spoljašnjem dodiru.
Uzmimo da je ipak moguće da krug AGK dodiruje spolja krug ABDG u više tačaka sem u jednoj naime u A i G; povucimo tada AG.
Ako su na periferiji svakog od krugova ABDG i AGK uzete dve tačke A i G, biće prava koja spaja te tačke u unutrašnjosti svakog od njih [III.2]. Međutim, ona leži u krugu ABDG i van kruga AGK [III, Def. 3], to je protivurečno. Prema tome ne dodiruje jedan krug drugi spolja u više tačaka sem u jednoj, a dokazano je i za slučaj unutrašnjeg dodira.
Na ovaj način, krug ne dodiruje drugi krug u više tačaka sem u jednoj bilo da se dodiruju iznutra bilo spolja. A toje trebalo dokazati.