32.
Ako prava dodiruje krug i kroz tačku dodira je povučena prava koja preseca krug, onda su uglovi između te prave i tangete jednaki uglovima u naizmeničnim kružnim otsečcima.
Neka prava EZ dodiruje krug ABGD u tački B i neka je prava povučena kroz tačku B seče krug ABGD po BD. Tvrdim da su uglovi između prave BD i tangente EZ jednaki uglovima u naizmeničnim kružnim otsečcima, tj. da je ugao ZBD jednak uglu u otsečku BAD i ugao EBD jednak uglu u otsečku DGB.
Povucimo kroz tačku B pravu BA upravnu na pravu EZ i uzmimo na luku BD neku tačku G i povucimo AD, DG, GB.
Pošto prava EZ dodiruje krug ABGD u tački B i kroz tačku dodira B je povučena prava BA upravno na tangentu, biće centar kruga ABGD na BA [III.19]. Prema tome je BA prečnik kruga ABGD. Stoga je ugao ADB, kao ugao u polukrugu, jednak pravom uglu [III.31]. Dakle i zbir ostalih uglova BAD i ABD jednak je jednom pravom uglu [I.32]. Međutim, i ugao ABZ je prav Zbog toga je ugao ABZ jednak zbiru uglova BAD i ABD. Oduzmimo zajednički ugao ABD. Tada je ostatak ugao DBZ jednak uglu BAD, uglu u naizmeničnom kružnom otsečku. Zatim, pošto je ABGD četvorougao u krugu, biće zbir njegovih naspramnih uglova jednak dvama pravim [III.22]. Stoga je zbir uglova DBZ i DBE jednak je dvama pravim. A i zbir uglova DBZ i DBE jednak zbiru uglova BAD i DGB; međutim dokazano je da je ugao BAD jednak uglu DBZ, pa je prema tome preostali ugao DBE jednak uglu DGB, uglu u naizmeničnom kružnom otsečku DGB.
Na ovaj način, ako prava dodiruje krug i kroz tačku dodira je povučena prava koja preseca krug, onda su uglovi između te prave i tangente jednaki uglovima u naizmeničnim kružnim otsečcima. A to je trebalo dokazati.