27.

U jednakim krugovima međusobno su jednaki uglovi, ako su oni bilo centralni bilo periferijski nad jednakim lucima.

U jednakim krugovima ABG i DEZ nad jednakim lucima BG, EZ nalaze se kod centra H i Q centralni uglovi BHG i EQZ, a kod periferije uglovi BAG i EDZ. Tvrdim da je ugao BHG jednak uglu EQZ i da je ugao BAG jednak uglu EDZ.
Ako ipak BHG nije jednako EQZ, biće jedan veći od drugog. Neka veći bude BHG; tada konstruišimo na pravoj BH u njenoj tački H ugao BHK jednak uglu EQZ [I.23]. Kako su jednaki uglovi nad jednakim lucima, ako su im centri isti [III.26], biće luk BK jednak luku EZ. Ali EZ je jednako BG pa prema tome je i BK jednako BG, manje većem, a to je nemoguće. Nije prema tome ugao BHG nejednak uglu EQZ, pa znači da su oni jednaki. Zatim, kako je ugao kod A polovina BHG, a ugao kod D polovina ugla EQZ [III.20], biće i ugao kod A jednak uglu kod D.
Na ovaj način, u jednakim krugovima međusobno su jednaki uglovi, ako su oni bilo centralni bilo periferijski nad jednakim lucima. A to je trebalo dokazati.