EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA VII
Definicije
1. Jedinica je ono pomoću čega se svaki predmet koji postoji naziva jedan (jedno).
2. Broj je množina sastavljena od jedinica.
3. Jedan broj čini deo drugog broja, manji od većeg, ako meri veći.
4. A delove ako ne meri.
5. Veći broj je multiplum od manjeg, ako se meri manjim.
6. Paran je onaj broj koji je deljiv na dva jednaka dela.
7. Neparan je onaj broj koji nije deljiv na dva jednaka dela ili koji se razlikuje za jedinicu od paranog.
8. Parno-paran broj je onaj koji se meri parnim brojem paran broj puta.
9. Neparno-paran broj je onaj koji se meri parnim brojem neparan broj puta.
10. Parno-neparan broj je onaj koji se meri neparnim brojem paran broj puta.
11. Neparno-neparan broj je onaj koji se meri neparnim brojem neparan broj puta.
12. Prost broj je onaj koji se meri samo jedinicom.
13. Međusobno prosti brojevi su oni koji imaju kao zajedničku meru samo jedinicu.
14. Složen broj je onaj koji se meri nekim brojem.
15. Međusobno složeni brojevi su oni koji se mere nekim brojem kao zajedničkom merom.
16. Kaže se da se jedan broj množi drugim brojem kad se prvi broj uzima kao sabirak onoliko puta koliko je jedinica u drugom broju; i tada se dobija neki broj.
17. Ako se kao rezultat množenja dva broj dobija neki broj, ovaj se zove površinski, a dva broja, koji su množeni, zovu se njihove strane.
18. Ako se kao rezultat množenja tri broja dobije neki broj, ovaj se zove zapreminski, a tri broja, koji su množeni, zovu se njegove ivice.
19. Kvadratni broj je isti broj puta uzet isti broj ili površinski broj jednakih strana.
20. Kubni broj pak je isti broj puta uzet isti broj i još uzet isto toliko puta ili zapreminski broj jednakih ivica.
21. Brojevi su proporcionalni ako je prvi broj istostruki multiplum, ili isti deo, ili isti delovi od drugog, kao što je treći od četvrtog.
22. Slični površinski ili zapreminski brojevi su oni čije su strane odnosno ivice proprocionalne.
23. Savršen (perfektan) je onaj broj koji je jednak zbiru svih svojih delova (koji ga mere).
1.
Ako su data dva nejednaka broja pa pri uzastopnom oduzimanju manjeg od većeg ostatak ne biva mera predhodnog, koji smo oduzimali, dok taj ostatak ne postane jednak jedinici, ta su dva broja međusobno prosti.
2.
Za dva broja koji nisu međusobno prosti naći njihovu najveću zajedničku meru.
Posledica
Odavde je jasno da ako broj meri dva broja, on meri i njihovu zajedničku najveću meru. A to je trebalo dokazati.
3.
Za tri data broja koji nisu međusobno prosti naći njihovu najveću zajedničku meru.
4.
Svaki broj je ili deo ili delovi od svakog drugog broja, manji od većeg.
5.
Ako jedan broj čini deo drugog broja i neki drugi broj čini isti deo nekog drugog broja, onda i zbir prvih brojeva čini isti deo zbira drugih brojeva, kao pojedini broj pojedinog.
6.
Ako jedan broj čini delove drugog broja i neki drugi broj čini iste delove nekog drugog broja, onda i zbir prvih brojeva čini iste delove zbira drugih brojeva kao pojedini broj od pojedinog.
7.
Ako je jedan broj isti deo drugog broja kakav je i umanjilac prvog broja deo umanjioca drugog broja, onda je i ostatak prvog broja isti deo ostatka drugog broja.
8.
Ako jedan broj čini iste delove drugog broja kao što umanjilac prvog broja čini delove umanjioca drugog broja, onda i ostatak prvog broja činin iste delove ostatka drugog broja.
9.
Ako je jedan broj deo drugog broja, a treći broj isti deo četvrog broja, onda je i, posle permutacije, prvi broj isti deo ili isti delovi trećeg broja kao i drugi broj četrtog.
10.
Ako jedan broj čini delove drugog broja, a treći broj čini iste delove četvrtog broja, onda će posle permutacije, delovi ili deo prvog od trećeg broj biti jednki delovima ili delu drugog od četvrtog broja.
11.
Ako je ceo broj prema drugom celom broju kao umanjilac prvog broja prema umanjiocu drugog broja, onda je i ostatak prvog broja prema ostatku drugog broja kao ceo broj prema celom broju.
12.
Ako imamo proizvoljno broj proporcionalnih brojeva, koji se svi odnose kao jedan predhodni prama jednom narednom, biće u istoj razmeri i zbir svih predhodnih prema zbiru svih narednih.
13.
Ako su četiri broja proporcionalni, oni će biti proporcinalni i permutovani.
14.
Ako se brojevi, uzeti po par, od jedne proizvoljne množine brojeva i od druge isto tolike množine brojeva, nalaze u istoj razmeri, biće i podjednako udaljeni brojevi u istoj razmeri.
15.
Ako jedinica meri drugi neki broj, a treći broj meri isti broj puta četvrti broj, onda, posle permutacije, jedinica meri isti broj puta treći broj kao što driugi broj meri četvrti broj.
16.
Ako se dva broja množe jedan drugim, biće tako dobijeni brojevi jednaki jedan drugom.
17.
Ako jedan broj množeći dva broja proizvodi dva broja, onda se dobijena dva broja nalaze u istoj razmeri kao i brojevi koji se množe.
18.
Ako dva broja množeći jedan broj proizvode dva broja, onda dobijeni brojevi stoje u istoj razmeri kao i brojevi množioci.
19.
Ako su četiri broja proporcionalna onda je broj-proizvod prvog i četvrtog broja jedanak broju-proizvodu drugog i trećeg broja. I ako je proizvodog prvog i četrvtog broja jednak broju-proizvodu drugog i trećeg broja, ta četiri broja su proporcionalna.
20.
Najmanji među brojevima koji su istoj razmeri mere ostale isti broj puta i to veći meri veće i manji manje.
21.
Međusobno prosti brojevi su najmanji od onih koji su sa njima u istoj razmeri.
22.
Brojevi, koji su najmanji među onima koji su u istoj razmeri sa njima, uzajamno su prosti.
23.
Ako su dva broja uzajamno prosti, onda je broj koji meri jedan od njih sa drugim uzajamno prost.
24.
Ako su dva broja prosti u odnosu na neki broj, onda je i njihov proizvod prost u odnosu na taj broj.
25.
Ako su dva broja uzajmno prosta, onda je proizvod jednog samim sobom uzajamno prost sa drugim brojem.
26.
Ako su dva broja prosti u odnosu na dva druga broja, oba prema svakom od ovih, onda su i njihovi proizvodi uzajamno prosti.
27.
Ako su dva broja uzajamno prosti i svaki pomnoži sam sebe, onda su i njihovi proizvodi uzajamno prosti; i ako se prvobitni brojevi pomnože dobijenim proizvodima, onda su i novi proizvodi uzajamno prosti (a to isto se dobija i dalje).
28.
Ako su dva broja uzajamno prosta, onda je i njihov zbir uzajamno prost prema svakom od njih; i ako su zbir i jedan od brojeva uzajamno prosti, onda su i prvobitni brojevi uzajamno prosti.
29.
Svaki prost broj i svaki drugi broj, koji taj prost broj ne meri, uzajamno su prosti.
30.
Ako dva broja posle množenja daju proizvod koji se meri nekim prostim brojem, onda se tim prostim brojem i jedan od prvobitnih brojeva.
31.
Svaki složeni broj se meri nekim prostim brojem.
32.
Svaki je broj ili prost ili se meri nekim prostim brojem.
33.
Za datu proizvoljnu množinu brojeva naći najmanje brojeve koji su u istim razmerama kao i dati.
34.
Za dva data broja naći najmanji broj koji oni mere.
35.
Ako dva broja mere neki broj, onda i najmanji broj koji oni mere meri taj broj.
36.
Za tri data broja naći najmanji broj koji oni mere.
37.
Ako je neki broj meren drugim, onda mereni broj ima deo istog naziva kao i broj koji meri.
38.
Ako neki broj ima ma kakav deo, onda je taj broj meren brojem istog naziva sa tim delom.
39.
Naći najmanji broj koji ima date delove. |