24.
Ako su dva broja prosti u odnosu na neki broj, onda je i njihov proizvod prost u odnosu na taj broj.
Neka su dva broja A i B prosti u odnosu na neki broj G i neka je D proizvod brojeva A i B. Tvrdim da su brojevi G i D uzajamno prosti.
Zaista ako brojevi G i D nisu uzajamno prosti, onda postoji broj koji meri brojeve G i D. Neka postoji mera i neka je to broj E. Kako su brojevi G, A uzajamno prosti, a broj G meri broj E, to su brojevi A i E uzajamno prosti. I koliko puta broj E meri broj D, neka je toliko jedinica u Z. Znači Z meri D prema broju jedinica u E i E množeći Z proizvodi D. Ali i A množeći B proizvodi D. I prema tome je proizvod od E i Z jednak proizvodu od A i B. Ali, ako je proizvod krajnih jednak proizvodu srednjih onda su ta četiri broja proporcionalna. Prema tome se E odnosi prema A kao B prema Z. Ali prosti brojevi A i E, prosti i najmanji, a najmanji od brojeva koji su u istoj razmeri sa njma mere sve brojeve koji su u istoj razmeri sa njima isti broj puta i to veći meri veći i manji manji, tj. predhodni meri predhodni i naredni-naredni. Prema tome E meri B. A meri E i G. Prema tome E meri brojeve B i G koji su uzajamno prosti, a to je nemoguće. Ne postoji, prema tome, broj koji meri brojeve G i D. Na ovaj način su brojevi G i D uzajamno prosti. A to je trebalo dokazati.