30.
Ako dva broja posle množenja daju proizvod koji se meri nekim prostim brojem, onda se tim prostim brojem i jedan od prvobitnih brojeva.
Neka dva broja A i B posle množenja daju broj G i neka se taj broj meri brojem D. Tvrdim da broj da D meri jedan od brojeva A, B.
Zaista, neka on ne meri A, a D je prost broj. Tada su brojevi A i D uzajamno prosti. I onoliko puta koliko D meri G, neka toliko jedinica bude u E. Pošto sad D meri G onoliko puta koliko je jedinica u E, to D pomnoženo sa E daje G. Ali i A pomnoženo sa B daje G. Prema tome je proizvod od D i E jednak proizvodu od A i B. To znači, D se odnosi prema A kao B prema E. Ali D i A su prosti, i najmanji, a najmanji meri isti broj puta brojeve koji su i istoj razmeri sa njima, i to veći broj veći i manji-manji, tj. predhodni-predhodni, a naredni-naredni. Prema tome D meri B. Na sličan način se dokazuje da ako on meri B, onad će meriti A. Na ovaj način, D meri jedan od brojeva. A to je trebalo dokazati.