19.
Ako su četiri broja proporcionalna onda je broj-proizvod prvog i četvrtog broja jedanak broju-proizvodu drugog i trećeg broja. I ako je proizvodog prvog i četrvtog broja jednak broju-proizvodu drugog i trećeg broja, ta četiri broja su proporcionalna.
Neka su data četiri proporcionalna broja A, B, G, D, tako da se A odnosi prema B kao G prema D i neka je E proizvod množenja D sa A, Z proizvod množenja G sa B. Tvrdim da je E jednako Z.
Zaista, neka A množeći G proizvodi H. Pošto, prema tome, A množeći G proizvodi H, a množeći D proizvodi E, onda isti broj A množeći dva broja G i D proizvodi dva broja H i E. Zbog toga se G odnosi prema D, kao H prema E. Ali G se odnosi prema D kao A prema B. I na taj način A se odnosi prema B kao H prema E. Dalje, pošto A množeći G proizvodi H a B množeći G proizvodi Z, to dva broja A iB mnv zeći G proizvode brojeve H i Z. Stoga se A odnosi prema B kao H prema Z. Ali A se odnosi prema B kao H prema E. I na taj način se H odnosi prema E kao H prema Z. Te tako i H prema svakom od brojeva E i Z stoji u istoj razmeri, znači da je E jednako Z.
Neka je sad E jednako Z. Tvrdim da se A odnosi prema B kao G prema D.
Zaista na osnovu istih rasuđivanja, pošto je E jednako Z, H će se odnositi prema E, kao H prema Z. Ali H stoji prema E, kao G prema D, i H stoji prema Z kao A prema B. I na taj način A se odnosi prema B kao G prema D. A to je trebalo dokazati.