15.
Ako jedinica meri drugi neki broj, a treći broj meri isti broj puta četvrti broj, onda, posle permutacije, jedinica meri isti broj puta treći broj kao što driugi broj meri četvrti broj.
Neka jedinica A meri broj BG i to isti broj puta kao što drugi broj D meri broj EZ. Tvrdim da i, posle, permutacije, A meri isti broj puta broj D kao što broj BG meri EZ.
Zaista, pošto jedinica A meri broj BG isti broj puta kao i D broj EZ, to će EZ sadržati onoliko puta broj D koliko je u BG jedinica. Podelimo BG na jednake jedinice BH, HQ, QG, a EZ na delove EK, KL, LZ jednake broju D. Tada je broj podelaka BH, HQ, QG jednak broju podelaka EK, KL, LZ. I pošto su jedinice BH, HQ, QG jednake međusobom, a i brojevi EK, KL, LZ su jednaki međusobom, i množina jedinica BH, HQ, QG je istog broja kao i množina EK, KL, LZ, to se jedinica BH odnosi prema broju EK, kao što se jedinica HQ odnosi prema broju KL i jedinica QG prema broju LZ. Ali jedan od predhodnih se odnosi prema jednom od narednih, kao što se zbir svih predhodnih odnosi prema zbiru svih narednih. Prema tome jedinica BH se tako odnosi prema broju EK kao BG prema EZ. Ali jedinica BH je jednaka jedinici A, a broj EK jednak broju D. Prema tome jedinica A se odnosi prema broju D kao broj BG prema broju EZ. Na ovaj način jedinica A meri broj D isti broj puta kao što broj BG meri EZ. A to je trebalo dokazati.