EUKLIDOVI ELEMENTI

KNIJIGA VI

Definicije


1. Pravolinijske slike su slične, ako su im uglovi pojedinačno jednaki i kraci jednakih uglova proporcionalni.

2. (Slike su recipročne, ako kod svake dve slike ima kako prethodnih tako i narednih razmera.)

3. Kaže se da je prava (duž) podeljena u krajnjoj i srednjoj razmeri (neprekidno) ako cela prava (duž) stoji prema većem delu kao veći deo prema manjem.

4. Visina svake slike je normala spuštena iz vrha slike na osnovicu.

5. (Kaže se da je razmera sastavljena od razmera ako posle međusobnog množenja vrednosti tih razmera dobivamo nešto.)


1.

Trougli i paralelogrami iste visine se odnose jedan prema drugom kao osnovice.

2.

Ako je u trouglu povučena neka prava paralelna jednoj od strana, ta prava seče ostale strane proporcionalno; i ako su strane trougla presečene proporcionalno, prava što spaja presečne tačke paralelna je preostaloj stranici trougla.

3.

Ako raspolovimo ugao trougla i prava što polovi ugao preseče i osnovicu onda su otsečci osnovice u istoj razmeri kao i dve ostale trouglove strane. I ako su otsečci osnovice u istoj razmeri kao i dve ostale trouglove strane, onda prava povučena iz temena ka deonoj tački polovi ugao trougla.

4.

Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalne, i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova.

5.

Ako dva trougla imaju proporcionalne strane, oni imaju i jednake uglove i jednaki uglovi leže naspram odgovarajućih strana.

6.

Ako dva trougla imaju po jedan ugao jednak i strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalne trougli imaju jednake uglove i jednaki su baš oni uglovi koji leže naspram odgovarajućih strana.

7.

Ako dva trougla imaju po jednak ugao jednak i strane koje obrazuju druge uglove proporcionalne, a svaki od preostalih uglova je ili manji ili ne manji od pravog, trougli imaju jednake uglove i to baš one uglove, čiji su kraci proporcionalni.

8.

Ako je u pravouglom trouglu iz pravog ugla povučena normala na osnovicu, trougli uz normalu slični su celom trouglu i među sobom.

Posledica

Iz ovog je jasno, da ako je u pravouglom trouglu iz pravog ugla povučena normala na osnovicu, onda je povučena (normala) srednja proporcionala otsečaka osnovice. A to je i trebalo dokazati. [Sem toga je strana, što leži uz jedan otsečak osnovice, srednja proporcionala osnovice i tog otsečka.]

9.

Od date duži otseći traženi deo.

10.

Datu nepodeljenu duž podeliti slično datoj podeljenoj duži.

11.

Za dve date duži naći treću proporcionalu.

12.

Za tri date duži naći četvrtu proporcionalu.

13.

Za dve date duži naći srednju proporcionalu.

14.

Kod jednakih paralelograma sa jednakim uglovima strane koje obrazuju jednake uglove su obrnuto proporcionalne; a i paralelogrami sa jednakim uglovima i obrnuto proporcionalno stranama koji obrazuju jednake uglove jednaki su.

15.

Kod jednakih trouglova sa po jednim jednakim uglom strane koje obrazuju jednake uglove su obrnuto proporcionalne; i trougli sa po jednim jednakim uglom sa obrnuto proporcionalnim stranama koje obrazuju te uglove jednaki su.

16.

Ako su četiri duži proporcionalne, pravougaonik obuhvaćen krajnjim (dužima) jednak je pravougaoniku obuhvaćenom srednjima (dužima); i ako je pravougaonik, obuhvaćen krajnjim, jednak pravougaoniku obuhvaćenom srednjim, te četiri duži su proporcionalne.

17.

Ako su proporcionalne tri duži, pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak je kvadratu nad srednjom duži; i ako je pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak kvadratu nad srednjom duži, tri duži su proporcionalne.

18.

Na datoj duži nacrtati pravolinijsku sliku sličnu datoj pravolinijskoj slici i u sličnom položaju.

19.

Slični trougli su jedan prema drugom u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strana.

Posledica

Odavde je jasno, da ako su tri duži proporcionalne, onda je prva prema trećoj kao i slika nad prvom prema sličnoj i u sličnom položaju slici nad drugom. [Pošto je dokazano da je GB prema BH kao trougao ABG prema ABH, tj. DEZ]. A to je trebalo dokazati.

20.

Slični mnogouglovi se mogu rastaviti na slične trougle u istom broju i u istim odnosima prema nerastavljenim (celim mnogouglima), i mnogougao je prema mnogouglu u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strana.

Posledica

Na isti način se može pokazati da su i slični četvorougli u razmeri dvaput višoj od razmere odgovarajućih strana. A to je dokazano i za trougle. Prema tome su uopšte slične pravolinijske slike u razmeri dvaput višoj od razmere odgovarajućih strana. A to je trebalo dokazati.

Posledica

Ako za AB i ZH uzmemo treću proporcionalu X, onda je razmera BA prema X dvaput viša od razmere AB prema ZH. A i mnogougao prema mnogouglu ili četvorougao prema četvorouglu su u razmeri dvaput višoj od razmere odgovarajućih strana, tj. razmere AB prema ZH. A ovo je bilo dokazano i za trouglove. Prema tome je jasno, da, uopšte, ako su tri veličine proporcionalne, onda je prva prema trećoj kao slična i u sličnom odnosu slika konstruisana nad prvom prema odgovarajućoj slici nad drugom.

21.

Pravolinijske slike slične istoj slici slične su i među sobom.

22.

Ako su četiri duži proporcionalne, onda su i na njima konstruisane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike proporcionalne; i ako su na njima konstruisane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike proporcionalne, proporcionalne su i duži.

Lema

Ako su pravolinijske slike jednake i slične, onda su i njihove strane jedne drugim jednake. To dokažimo ovako.

23.

Paralelogrami sa jednakim uglovima su jedan prema drugom u razmeri složenoj od razmera strana.

24.

U svakom paralelogramu su paralelogrami konstruisani na dijagonali slični i celom (paralelogramu) i među sobom.

25.

Konstruisati pravolinijsku sliku koja je slična datoj pravolinijskoj slici i jednaka drugoj datoj pravolinijskoj slici.

26.

Ako od paralelograma otsečemo paralelogram sličan i u sličnom položaju sa celim koji sa ovim ima i zajednički ugao, taj paralelogram je na istoj dijagonali sa celim.

27.

Od svih paralelograma tako konstruisanih na datoj duži da im nedostaju paralelogrami slični i u sličnom položaju sa paralelogramom konstruisanim na drugoj polovini duži onaj je najveći koji je konstruisan na prvoj polovini duži i sličan paralelogramu koji mu nedostaje.

28.

Na datoj duži konstruisati takav paralelogram, jednak datoj pravolinijskoj slici, da paralelogram koji mu nedostaje bude sličan datom paralelogramu; pri tome je neophodno da data pravolinijska slika (kojoj treba konstruisati jednaki paralelogram) ne bude veća od paralelograma konstruisanog na polovini i sličnog paralelogramu koji mu nedostaje [od paralelograma na polovini, a da slični mu nedostaje].

29.

Na datoj duži konstruisati paralelogram sa suviškom sličnim datom paralelogramu, a jednak datoj pravolinijskoj slici.

30.

Datu ograničenu pravu (duž) podeliti u krajnjoj i srednjoj razmeri.

31.

Kod pravouglih trouglova slika konstruisana na strani naspram pravog ugla jednaka je zbiru sličnih i slično konstruisanih slika nad stranama koje obrazuju prav ugao.

32.

Ako sastavimo temena dvaju trouglova kod kojih su dve strane jednog proporcionalne dvema stranama drugog i pri tome te strane na odgovarajući način paralelne, onda su ostale strane trouglova na istoj pravoj.

33.

Kod jednakih krugova uglovi se nalaze u razmeri zahvaćenih lukova bilo u slučaju centralnih bilo u slučaju periferijskih uglova.