24.
U svakom paralelogramu su paralelogrami konstruisani na dijagonali slični i celom (paralelogramu) i među sobom.
Neka je ABGD paralelogram i AG njegova dijagonala, EH i QK paralelogrami na AG. Tvrdim da je svaki od paralelograma EH i QK sličan celom paralelogramu ABGD i da su oni slični među sobom.
Zaista, pošto je trougao ABG presečen pravom EZ paralelno strani BG, to se BE odnosi prema EA kao GZ prema ZA [VI.2]. Dalje, pošto je trougao AGD presečen pravom ZH paralelno strani GD, to je GZ prema ZA kao DH prema HA [VI.2]. A dokazano je da je GZ prema ZA kao BE prema EA. Prema tome je i BE prema EA kao DH prema HA. I zato je, posle sastavljanja, BA prema AE kao DA prema AH [V.18], a posle permutovanja BA je prema AD kao EA prema AH [V.16]. Dakle kod paralelograma ABGD i EH strane koje obrazuju zajednički ugao BAD proporcionalne su. A kako su HZ i DG paralelne, ugao AZH jednak je uglu DGA; a ugao DAG je zajednički kod trougla ADG i AHZ, prema tome trougli ADG i AHZ imaju jednake uglove. Iz istih razloga i trouglovi AGB i AZE imaju jednake uglove; pa tako i ceo paralelogram ABGD i paralelogram EH imaju jednake uglove. Zato je AD prema DG kao AH prema AZ, i DG prema GA kao HZ prema ZA, i AG prema GB kao AZ prema ZE, i GB prema BA kao ZE prema EA. A kako je dokazano da je DG prema GA kao HZ prema ZA, i AG prema GB kao AZ prema ZE, onda je, prema jednakoudaljenosti, DG prema GB kao HZ prema ZE [V.22]. Prema tome su strane koje obrazuju jednake uglove kod paralelograma ABGD i EH proporcionalne, pa su na taj način paralelogrami ABGD i EH slični [VI, Def. 1]. Iz istih razloga je paralelogram ABGD sličan paralelogramu KQ; znači svaki od paralelograma EH i QK je sličan paralelogramu ABGD. A slike slične jednoj istoj pravolinijskoj slici slične su i među sobom [VI.21]. Te prema tome je i paralelogram EH sličan paralelogramu QK.
Na ovaj način, u svakom paralelogramu su paralelogrami konstruisani na dijagonali slični i celom (paralelogramu) i među sobom. A to je trebalo dokazati.