18.
Na datoj duži nacrtati pravolinijsku sliku sličnu datoj pravolinijskoj slici i u sličnom položaju.
Neka je data duž AB, a data pravolinijska slika GE. Treba na duži AB nacrtati pravolinijsku sliku sličnu pravolinijskoj slici GE i u sličnom položaju.
Spojimo D sa Z i konstruišimo na duži AB, i to kod njenih tačaka A i B ugao HAB jednak uglu G i ugao ABH jednak uglu GDZ [I.23]; onda je i preostali ugao AHB jednak uglu GZD [I.32]. Prema tome trougli ZGD i HAB imaju jednake uglove. Znači da je ZD prema HB kao ZG prema HA i GD prema AB. Konstruišimo zatim na duži BH, i to kod njenih tačaka B i H ugao BHQ jednak uglu DZE i ugao HBQ jednak uglu ZDE [I.23]; tada je preostali ugao kod Q jednak preostalom uglu kod E [I.32]. Prema tome trougli ZDE i HQB imaju jednake uglove. Znači da je ZD prema HB kao ZE prema HQ i ED prema QB [VI.4]. A dokazano je da je ZD prema HB kao ZG prema HA i GD prema AB, i da je ZG prema AH kao GD prema AB i ZE prema HQ i još ED prema QB. A kako je ugao GZD jednak uglu AHB i ugao DZE uglu BHQ, to je i ceo ugao GZE jednak celom uglu kod AHQ. Iz istih razloga je i ugao GDE jednak uglu ABQ. Pa je i ugao kod G jednak je uglu kod A, a takođe i ugao kod E uglu kod Q. Prema tome slike AQ i GE imaju jednake uglove; oni imaju i strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalne. Znači pravolinijska slika AQ je slična pravolinijskoj slici GE [VI, Def. 1].
Na ovaj način je datoj duži AB konstruisana pravolinijska slika AQ slična datoj pravolinijskoj slici GE i u sličnom položaju. A to je trebalo izvesti.