16.
Ako su četiri duži proporcionalne, pravougaonik obuhvaćen krajnjim (dužima) jednak je pravougaoniku obuhvaćenom srednjima (dužima); i ako je pravougaonik, obuhvaćen krajnjim, jednak pravougaoniku obuhvaćenom srednjim, te četiri duži su proporcionalne.
Neka su četiri duži AB, GD, E, Z proporcionalne, odnosiće se AB prema GD kao E prema Z. Tvrdim, da je pravougaonik obuhvaćen dužima AB i Z jednak pravougaoniku obuhvaćenom dužima GD i E.
Zaista, povucimo kroz tačke A i G prave AH i GQ upravno na prave AB i GD i odmerimo AH jednako Z, GQ jednako E i dopunimo paralelograme BH i DQ.
Kako je AB prema GD kao E prema Z, a E je jednako GQ i Z jednako AH, to je i AB prema GD kao GQ prema AH. Prema tome su kod paralelograma BH i DQ strane koje obrazuju jednake uglove obrnuto proporcionalne. Ali paralelogrami sa jednakim uglovima, čije su strane koje obrazuju jenake uglove obrnuto proporcionalne, jednaki su [VI.14]. Prema tome paralelogram BH jednak je paralelogramu DQ. Ali je BH pravougaonik obuhvaćen dužima AB i Z , jer je AH jednako Z, a DQ je pravougaonik obuhvaćen dužima GD i E, jer je GQ jednako E. Prema tome je pravougaonik sa AB i Z jednak pravougaoniku sa GD i E.
Neka je sad pravougaonik sa AB i Z jednak pravougaoniku sa GD i E. Tvrdim da su ove četiri duži proporcionalne, to jest AB prema GD kao E prema Z.
Zaista, na osnovu iste konstrukcije, pošto je (pravougaonik) sa AB i Z jednak (pravougaoniku) sa GD i E, a (pravougaonik) sa AB i Z je BH, jer je AH jednako Z, i (pravougaonik) sa GD i E je DQ, jer je GQ jednako E, to je (pravougaonik) BH jednak (pravougaoniku) DQ; a imaju i jednake uglove. A kod jednakih paralelograma sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove obrnuto proporcionalne [VI.14]. Prema tome je AB prema GD kao GQ prema AH; ali je GQ jednako E i AH jednako Z, što znači da je AB prema GD kao E prema Z.
Na ovaj način, ako su četiri duži proporcionalne, pravougaonik obuhvaćen krajnjim (dužima) jednak je pravougaoniku obuhvaćenom srednjim (dužima); i ako je pravougaonik, obuhvaćen krajnjim, jednak pravougaoniku obuhvaćenom srednjim, te četiri duži su proporcionalne. A to je trebalo dokazati.