15.
Kod jednakih trouglova sa po jednim jednakim uglom strane koje obrazuju jednake uglove su obrnuto proporcionalne; i trougli sa po jednim jednakim uglom sa obrnuto proporcionalnim stranama koje obrazuju te uglove jednaki su.
Neka su ABG, ADE dva trougla sa po jednakim uglovima BAG i DAE. Tvrdim da su strane koje obrazuju jednake uglove trouglova ABG i ADE obrnuto proporcionalne, tj. GA se odnosi prema AD kao EA prema AB.
Zaista, konstruišimo na istoj pravoj GA i AD, tada će i prava EA biti na istoj pravoj sa AB [I.14]; i spojimo B sa D.
Pošto je sad trougao ABG jednak trouglu ADE, a BAD neki drugi (trougao), onda se trougao GAB odnosi prema trouglu BAD kao trougao EAD prema trouglu BAD [V.7]. Ali je GAB prema BAD kao GA prema AD [VI.1], i EAD prema BAD kao EA prema AB [VI.1]. Prema tome je i GA prema AD kao EA prema AB [V.11]. Na taj način strane trouglova ABG i ADE koje obrazuju jednake uglove obrnuto su proporcionalne.
Neka sad strane trouglova ABG i ADE budu obrnuto proporcionalne, tj. neka se GA odnosi prema AD kao EA prema AB. Tvrdim da je trougao ABG jednak trouglu ADE.
Zaista, spojimo ponovo B sa D, pa kako se GA odnosi prema AD kao EA prema AB, a GA je prema AD kao što trougao ABG prema trouglu BAD [VI.1], to je trougao ABG prema trouglu BAD kao trougao EAD prema trouglu BAD [V.11]. Prema tome je svaki od ABG i EAD prema istom BAD u istoj razmeri, što znači da je trougao ABG jednak trouglu EAD [V.9].
Na ovaj način, kod jednakih trouglova sa po jednim jednakim uglom strane koje obrazuju jednake uglove su obrnuto proporcionalne; i trougli sa po jednim jednakim uglom sa obrnuto proporcionalnim stranama koje obrazuju te uglove jednaki su. A to je trebalo dokazati.