33.
Kod jednakih krugova uglovi se nalaze u razmeri zahvaćenih lukova bilo u slučaju centralnih bilo u slučaju periferijskih uglova.
Neka se ABG i DEZ jednaki krugovi i uglovi BHG i EQZ centralni za centre H i Q, a uglovi BAG i EDZ periferiski. Tvrdim da se luk BG odnosi prema luku EZ kao ugao BHG prema uglu EQZ i ugao BAG prema uglu EDZ.
Zaista, nadovežimo na luk BG koliko hoćemo tom luku jednakih lukova G K,KL, a na luk EZ isti broj ovom luku jednakih lukova ZM, MN, i povucimo HK,HL, QM, QN.
Pošto su sad luci BG, GK, KL među sobom jednaki, jednaki su među sobom i uglovi BHG, GHK, KHL [III.27]. Prema tome koliki je luk BL multiplum luka BG, toliki je i ugao BHL, multiplum ugla BHG. Iz istih razloga , koliki je luk NE multiplum luka EZ, toliki je i ugao NQE multiplum ugla EQZ. Znači, ako je luk BL jednak luku EN, jednak je i ugao BHL uglu EQH [III.27], ako je luk BL veći od luka EN, onda je veći i ugao BHL od ugla EQN, a ako je manji, onda manji. Od četiri date veličine, dva luka BG i EZ i dva ugla BHG i EQZ, uzeti su podjednaki multiplumi luka BG i ugla BHG, luk BL i ugao BHL, a od luka EZ i od ugla EQZ luk EN i ugao EQN. I dokazano je da, ako je luk BL veći od luka EN, onda je ugao BHL veći od ugla EQN, ako je jednak onda je jednak, a ako je manji, manji. Prema tome se luk BG odnosi prema luku EZ kao ugao BHG prema uglu EQZ. Ali ugao BHG je prema uglu EQZ kao ugao BAG prema EDZ, jer je svaki dvaput veći od drugog. Prema tome, luk BG se odnosi prema luku EZ kao ugao BHG prema uglu EQZ i ugao BAG prema uglu EDZ.
Na ovaj način, kod jednakih krugova uglovi se nalaze u razmeri zahvaćenih lukova bilo u slučaju centralnih bilo u slučaju periferiskih uglova. A to je trebalo dokazati.