7.
Ako dva trougla imaju po jednak ugao jednak i strane koje obrazuju druge uglove proporcionalne, a svaki od preostalih uglova je ili manji ili ne manji od pravog, trougli imaju jednake uglove i to baš one uglove, čiji su kraci proporcionalni.
Neka dva trougla ABG i DEZ imaju po jedan ugao jednak, ugao BAG jednak uglu EDZ i strane koje obrazuju druge uglove ABG i DEZ proporcionalne, AB je prema BG kao DE prema EZ, a od ostalih uglova pri G i Z neka, prvo, svaki bude manji od pravog. Tvrdim, da trougli ABG i DEZ imaju jednake uglove, naime ugao ABG jednak je uglu DEZ i preostali ugao kod G jednak je uglu kod Z.
Zaista, ako uglovi ABG i DEZ nisu jednaki, jedan je od njih veći. Neka bude veći ugao ABG, pa konstruišimo na pravoj AB i to kod njene tačke B ugao ABH jednak uglu DEZ [I.23].
Pošto je ugao kod A jednak uglu kod D, a i uglovi ABH i DEZ su jednaki, i preostali ugao AHB jednak je preostalom uglu DZE [I.32]. Prema tome trougli AHB i DEZ imaju jednake uglove. Na taj način AB je prema BH kao što DE prema EZ [VI.4]. A po pretpostavci DE je prema EZ kao AB prema BG. Prema tome je AB u istoj razmeri prema svakoj od strana BG i BH [V.11], što znači da je BG jednako BH [V.9]. Pa i ugao kod G jednak je uglu BHG [I.5]. Ali po pretpostavci je, ugao kod G manji od pravog, te znači i ugao BHG je manji od pravog, pa prema tome je susedni mu ugao AHB veći od pravog [I.13]. A dokazano je da je on jednak uglu kod Z, te je prema tome i ugao Z veći od pravog. A po pretpostavci je on manji od pravog, što je apsurdno. Prema tome ugao ABG nije nejednak uglu DEZ. Znači, on je jednak. Ugao kod A je takođe jednak uglu kod D, pa prema tome i preostali ugao kod G jednak je uglu kod Z [I.32]. Na ovaj način trougli ABG i DEZ imaju jednake uglove.
Pretpostavimo dalje da nijedan od uglova kod G i Z nije manji od pravog. Tvrdim ponovo, da i tada trougli ABG i DEZ imaju jednake uglove.
Zaista, pomoću iste konstrukcije i na sličan način se dokazuje da je BG jednako BH. Na taj način je ugao kod G jednak uglu BHG [I.5]. Ugao kod G nije manji od pravog; pa prema tome nije manji od pravog ni ugao BHG. Na taj način trougao BHG ima dva ugla koji nisu manji od pravog, a to je nemoguće [I.17]. Znači ugao BHG nije nejednak uglu DEZ, on je jednak. A ugao kod A je jednak uglu kod D. Pa prema tome je i preostli ugao kod G jednak uglu kod Z [I.32], te tako trougli ABG i DEZ imaju jednake uglove.
Na ovaj način, ako dva trougla imaju po jedan ugao jednak i strane koje obrazuju druge uglove proporcionalne, a svaki od preostalih uglova je ili manji ili ne manji od pravog, trougli imaju jednake uglove i to baš one uglove čiji su kraci proporcionalni. A to je trebalo dokazati.