5.
Ako dva trougla imaju proporcionalne strane, oni imaju i jednake uglove i jednaki uglovi leže naspram odgovarajućih strana.
Neka dva trougla ABG i DEZ imaju proporcionalne strane, da je AB prema BG kao DE prema EZ, i BG prema GA kao EZ prema ZD i usto je BA prema AG kao ED prema DZ. Tvrdim, da trougao ABG ima uglove jednake uglovima trougla DEZ i da trougli imaju jednake one uglove koji se nalaze naspram odgovarajućih strana, ugao ABG uglu DEZ, ugao BGA uglu EZD i ugao BAG uglu EDZ.
Zaista, konstruišimo na pravoj EZ u njenim tačkama E i Z ugao ZEH jednak uglu ABG i ugao EZH jednak uglu AGB [I.23]; tada je i preostali ugao kod H jednak preostalom uglu kod A [I.32].
Prema tome trougli EHZ i ABG imaju jednake uglove. Znači da su strane koje obrazuju jednake uglove trouglova ABG i EHZ proporcionalne i odgovaraju jedne drugoj baš one strane koje leže naspram jednakih uglova [VI.4]. Na taj način je AB prema BG kao HE prema EZ. Ali po pretpostavci AB je prema BG kao DE prema EZ, pa na osnovu toga je DE prema EZ kao HE prema EZ [V.11]. Znači svaka od duži DE i HE je u istoj razmeri prema EZ, te je prema tome DE jednako HE [V.9]. Iz istih razloga je i DZ jednako HZ. Na taj način pošto je DE jednako EH, a EZ je zajedničko biće dve duži DE i EZ jednake dvema dužima HE, EZ. A osnovica DZ jednaka je osnovici ZH. Te zaključujemo da je ugao DEZ jednak uglu HEZ [I.8], trougao DEZ jednak trouglu HEZ, pa i ostali uglovi jednaki su ostalim uglovima, baš oni što leže naspram jednakih strana [I.4]. Na ovaj način je ugao DZE jednak uglu HZE i ugao EDZ uglu EHZ. A pošto je ugao ZED jednak uglu HEZ, a ugao HEZ jednak uglu ABG, biće i ugao ABG jednak uglu DEZ. Iz istih razloga je i ugao AGB jednak uglu DEZ i ugao kod A jednak uglu kod D. Dakle, trougli ABG i DEZ imaju jednake uglove.
Na ovaj način, ako dva trougla imaju proporcionalne strane, oni imaju i jednake uglove i jednaki uglovi leže naspram odgovarajućih strana. A to je trebalo dokazati.