20.

Slični mnogouglovi se mogu rastaviti na slične trougle u istom broju i u istim odnosima prema nerastavljenim (celim mnogouglima), i mnogougao je prema mnogouglu u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strana.






Neka su ABGDE i ZHQKL slični mnogougli i neka strana AB odgovara strani ZH. Tvrdim da se mnogougli ABGDE i ZHQKL mogu rastaviti na slične trougle u istom broju i u istim odnosima prema nerastavljenim, i mnogougao ABGDE je prema mnogouglu ZHQKL u dvaput višoj razmeri od razmere AB prema ZH.
Povucimo BE, EG, HL, LQ.
Pošto je mnogougao ABGDE sličan mnogouglu ZHQKL, ugao BAE je jednak uglu HZA i BA se prema AE odnosi kao HZ prema ZL [VI, Def. 1]. Pošto sad dva trogla ABE i ZHL imaju po jedan ugao jednak i strane koje obrazuju jednake uglove su proporcionalne, to trougli ABE i ZHL imaju jednake uglove [VI.6], pa prema tome su slični [VI.4, Def. 1]; i tada je ugao ABE jednak uglu ZHL. Ali je jednak i ceo ugao ABG celom uglu ZHQ zbog sličnosti mnogouglova, te je i preostali ugao EBG jednak uglu LHQ. A pošto se, zbog sličnosti trouglova ABE i ZHL, EB odnosi prema BA kao L H prema HZ, a zbog sličnosti mnogouglova AB je prema BG kao ZH prema HQ, to, kao jednako udaljeni, EB je prema BG kao L H prema HQ [V.22] i strane koje obrazuju jednake uglove EBG i LHQ su proporcionalne. Prema tome trougli EBG i LHQ imaju jednake uglove [VI.6], što znači da je trougao EBG sličan trouglu LHQ [VI.4, Def. 1]. Iz istih razloga je trougao EGD sličan trouglu LQK. Na ovaj način su mnogougli ABGDE i ZHQKL rastavljeni na slične trougle i to u istom broju.
Tvrdim da su oni u istim odnosima prema nerastavljenim (celim mnogouglima), tj. da su trougli proporcionalni, i da su ABE, EBG, EGD prethodni, a ZHL, LHQ, LQK naredni i da je mnogougao ABGDE prema mnogouglu ZHQKL u dvaput višoj razmeri odgovarajuće strane prema odgovarajućoj strani, tj. strana AB prema ZH.
Zaista, povucimo AG i ZQ. Pošto su mnogougli slični, ugao ABG je jednak uglu ZHQ i AB je prema BG kao ZH prema HQ, to trougli ABG i ZHQ imaju jednake uglove [VI.6]; na taj način je ugao BAG jednak uglu HZQ, a i ugao BGA jednak uglu HQZ. I pošto je ugao BAM jednak uglu HZN, a i ugao ABM jednak uglu ZHN, to je i preostali ugao AMB jednak preostalom uglu ZNH [I.32]. Prema tome trougli ABM i ZHN imaju jednake uglove. Na sličan način se dokazuje da i trougli BMG i HNQ imaju jednake uglove. Prema tome se AM odnosi prema MB kao ZN prema NH i BM prema MG kao HN prema NQ i prema jednakoudaljenosti AM prema MG kao ZN prema NQ. Ali AM se odnosi prema MG kao trougao ABM prema trouglu MBG i trougao AME prema trouglu EMG, pošto se oni odnose kao osnovice [VI.1]. Međutim jedan od prethodnih se odnosi prema jednom od narednih kao i svi prethodni prema svima narednim [V.12], prema tome, trougao AMB se odnosi prema BMG kao ABE prema GBE. Ali je AMB prema BMG kao AM prema MG, te prema tome AM prema MG kao trougao ABE prema trouglu EBG. Iz istih razloga je ZN prema NQ kao trougao ZHL prema trouglu HLQ. A pošto je AM prema MG kao ZN prema NQ to je i trougao ABE prema trouglu BEG kao trougao ZHL prema trouglu HLQ, a posle permutovanja, trougao ABE je prema trouglu ZHL kao trougao BEG prema trouglu HLQ. Na sličan način se dokazuje, ako povučemo BD i HK, da se trougao BEG odnosi prema trouglu LHQ kao trougao EGD prema trouglu LQK. I pošto je trougao ABE prema trouglu ZHL kao trougao EBG prema LHQ, i EGD prema LQK, a jedan od prethodnih je prema jednom od narednih kao svi prethodni prema svima narednim [V.12], to se trougao ABE odnosi prema trouglu ZHL kao mnogougao ABGDE prema mnogouglu ZHQKL. Ali trougao ABE se odnosi prema trouglu ZHL u razmeri dvaput višoj od razmere strane AB prema odgovarajućoj strani ZH, jer su slični trougli u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strana [VI.19]. Prema tome su i mnogougli ABGDE i ZHQKL u dvaput višoj razmeri strane AB prema odgovarajućoj strani ZH.
Na ovaj način, slični mnogougli se mogu rastaviti na slične trouglove u istom broju i u istim odnosima prema nerastavljenim (celim mnogouglima), i mnogougao je prema mnogouglu u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strani. [A to je trebalo dokazati].