25.
Konstruisati pravolinijsku sliku koja je slična datoj pravolinijskoj slici i jednaka drugoj datoj pravolinijskoj slici.
Neka je ABG data pravolinijska slika, kojoj tražena slika treba da bude slična, a D slika, kojoj tražena slika treba da bude jednaka. Treba konstuisati sliku sličnu slici ABG a jednaka slici D.
Docrtajmo nad BG paralelogram BE jednak trouglu ABG [I.44], a nad GE paralelogram GM jednak D sa uglom ZGE jednakim uglu GBL [I.45]. Tada je BG na duži GZ i LE na duži EM. I neka HQ bude srednja proporcionala za BG i GZ, pa nad HQ konstruišimo trougao KHQ sličan i u sličnom položaju sa trouglom ABG [VI.18].
Pošto se BG odnosi prema HQ kao HQ prema GZ, a ako su tri duži proporcionalne, onda je prva prema trećoj kao i slika konstruisana nad prvom prema sličnoj i u sličnom položaju slici konstruisanoj nad drugom [VI.19, Posledica], znači BG je prema GZ kao trougao ABG prema trouglu KHQ. Ali BG se odnosi prema GZ kao i paralelogram BE prema paralelogramu EZ [VI.1]. Znači trougao ABG je prema trouglu KHQ kao paralelogram BG prema paralelogramu EZ. Ili, posle permutovanja trougao ABG je prema paralelogramu BE kao trougao KHQ prema paralelogramu EZ [V.16]. Kako je trougao ABG jednak paralelogramu BE, to je trougao KHQ jednak paralelogramu EZ. Ali paralelogram EZ je jednak (slici) D, pa je trougao KHQ jednak slici D, a pri tome je trougao KHQ i sličan trouglu ABG.
Na ovaj način je konstruisana slika KHQ slična datoj pravolinijskoj slici ABG i jednaka datoj slici D. A to je trebalo dokazati.