31.
Kod pravouglih trouglova slika konstruisana na strani naspram pravog ugla jednaka je zbiru sličnih i slično konstruisanih slika nad stranama koje obrazuju prav ugao.
Neka je ABG pravougli trougao sa pravim uglom BAG.
Tvrdim da je slika konstruisana nad BG jednaka zbiru sličnih i slično konstruisanih slika nad BA i nad AG.
Povucimo normalu AD.
Pošto je sad u pravouglom trouglu ABG iz pravog ugla kod A povučena na osnovicu BG normala AD, trougli ABD i ADG uz normalu su slični celom trouglu ABG a i među sobom [VI.8]. I pošto je ABG sličan ABD, to se GB odnosi prema kao AB prema BD [VI, Def. 1]. Pošto su sad tri duži proporcionalne, onda je prva prema trećoj kao slika nad prvom prema sličnoj i u sličnom položaju slici nad drugom [VI.19, Posledica]. Na taj način se GB odnosi prema BD kao slika nad GB prema sličnoj i u sličnom položaju slici nad BA. Iz istih razloga i BG je prema GD kao slika nad BG prema slici nad GA. Prema tome je i BG prema zbiru BD i DG kao slika nad BG prema zbiru sličnih i u sličnom položaju slika nad BA i AG. Ali je BG iz BD i DG. Prema tome je slika nad BG jednaka zbiru sličnih i u sličnom položaju konstruisanih slika nad BA i nad AG.
Na ovaj način je kod pravouglih trouglova slika konstruisana na strani naspram pravog ugla jednaka zbiru sličnih i slično konstruisanih slika nad stranama koje obrazuju prav ugao. A to je trebalo dokazati.