19.
Slični trougli su jedan prema drugom u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strana.
Neka su ABG i DEZ slični trougli sa jednakim uglovima kod B i E, i neka se AB stoji prema BG kao DE prema EZ, pri čemu BG odgovara EZ [V, Def. 11]. Tvrdim, da je trougao ABG prema trouglu DEZ u dvaput višoj razmeri BG prema EZ.
Zaista, uzmimo za BG i EZ treću proporcionalu BH, tako da je BG prema EZ kao EZ prema BH [VI.11]. I spojimo H sa A.
Sad, kako je AB prema BG kao DE prema EZ, to se, posle permutovanja, AB odnosi prema DE kao BG prema EZ [V.16]. Ali BG je prema EZ kao EZ prema BH; te je prema tome AB prema DE kao EZ prema BH [V.11]. Znači u trouglima ABH i DEZ strane koje obrazuju jednake uglove su obrnuto proporcionalne. Ali trougli koji imaju po jedan ugao jednak i čije su strane koje obrazuju jednake uglove obrnuto proporcionalne, jednaki su jedan drugom [VI.15]. Prema tome je trougao ABH jednak trouglu DEZ. I pošto se BG odnosi prema EZ kao EZ prema BH, to, ako su tri duži proporcionalne, razmera prve prema trećoj je dvaput viša od razmere prve prema drugoj [V, Def. 9], pa prema tome je i razmera BG prema BH jednaka dvaput višoj razmeri od razmere GB prema EZ. A pošto je GB prema BH kao trougao ABG prema trouglu ABH [VI.1], to je razmera trougla ABG prema trouglu ABH jednaka dvaput višoj razmeri od razmere BG prema EZ. Ali je trougao ABH jednak trouglu DEZ. Te tako trougao ABG prema DEZ u dvaput višoj razmeri BG prema EZ.
Na ovaj način, slični trougli su jedan prema drugom u dvaput višoj razmeri odgovarajućih strana. A to je trebalo dokazati.