32.

Ako sastavimo temena dvaju trouglova kod kojih su dve strane jednog proporcionalne dvema stranama drugog i pri tome te strane na odgovarajući način paralelne, onda su ostale strane trouglova na istoj pravoj.

Neka su ABG i DGE dvatrougla kod kojih su dve strane BA, AG jednog proporcionalne dvema stranama DG, DE drugog, naime AB se odnosi prema AG kao DG prema DE i strana AB je paralelna DG, a strana AG strani DE. Tvrdim da je BG i GE na istoj pravoj.
Zaista, pošto je prava AB paralelna pravoj DG, a prava AG je njihova transverzala, to su uglovi BAG i AGD jednaki kao naizmenični [I.29]. Iz istih razloga je ugao GDE jednak uglu AGD. Prema tome je ugao BAG jednak uglu GDE. Pošto dva trougla ABG i DGE imaju ugao kod A jednak uglu kod D, a strane koje obrazuju te uglove su proporcionalne, tj. BA se odnosi prema AG kao GD prema DE, to trougli ABG i DGE imaju jednake odgovarajuće uglove [VI.6]. Prema tome je ugao ABG jednak uglu DGE. A dokazano je da je ugao AGD jednak uglu BAG. Prema tome je ceo ugao AGE jednak zbiru uglova ABG i BAG. Dodajmo zajednički ugao AGB, tada je zbir uglova AGE i AGB jednak zbiru uglova BAG, AGB, GBA. Ali je zbir BAG, ABG, AGB jednak dvostrukom pravom uglu [I.32], pa je prema tome i zbir AGE, AGB jednak dvostrukom pravom uglu. Na pravoj AG kod iste tačke G dve prave BG i GE, koje nisu sa iste strane, čine dva susedna ugla AGE i AGB čiji je zbir dva prava ugla, pa usled toga su dve prave BG i GE na istoj pravoj [I.14].
Na ovaj način, ako sastavimo temena dvaju trouglova kod kojih su dve strane jednog proporcionalne dvema stranama drugog i pri tome te strane na odgovarajući način paralelne, onda su ostale strane trouglova na istoj pravoj. A to je trebalo dokazati.