28.

Na datoj duži konstruisati takav paralelogram, jednak datoj pravolinijskoj slici, da paralelogram koji mu nedostaje bude sličan datom paralelogramu; pri tome je neophodno da data pravolinijska slika (kojoj treba konstruisati jednaki paralelogram) ne bude veća od paralelograma konstruisanog na polovini i sličnog paralelogramu koji mu nedostaje [od paralelograma na polovini, a da slični mu nedostaje].






Neka je AB data duž, a pravolinijska slika G, kojoj jednaki paralelogram treba konstruisati na AB,nije veća od paralelograma konstruisanog na polovini AB i sličnog paralelogramu koji mu nedostaje i koji je sličan paralelogramu D. Treba na datoj duži AB konstruisati paralelogram jednak pravolinijskoj slici G i da paralelogram koji mu nedostaje bude sličan datom paralelogramu D.
Raspolovimo AB tačkom E i nad EB nacrtajmo sliku EBZH sličnu i u sličnom položaju sa D [VI.18]; i kao dopunu konstruišimo paralelogram AH.
Ako je sad AH jednako G, traženo bi bilo izvedeno, jer je na datoj duži AB konstruisani paralelogram AH jednak datoj pravolinijskoj slici G, a paralelogram, koji mu nedostaje, je sličan paralelogramu D.
Ako to nije slučaj onda neka QE bude veće od G. A kako je QE jednako HB, biće i HB od G. Tada konstruišemo sliku KLMN sličnu i u sličnom položaju sa D, koja je jednaka suvišku HB nad G [VI.25]. Kako je D slično HB, to je i KM slično HB [VI.21]. Neka sad KL odgovara HE, a LM duži HZ. Pošto je HB jednako zbiru G i KM, a HZ od L M. Konstruišemo HS jednako KL i HO jednako L M i dopunimo paralelogram S HOp; prema tome je Hp slično i jednako KM (a KM je slično HB). Znači Hp je je slično HB [VI.21]. Prema tome su Hp i HB na istoj dijagonali [VI.26]. Neka je ta dijagonala HpB, pa dopunimo sliku.
Pošto je sad BH jednako zbiru G i KM, a Hp je jednako KM, to je preostali gnomon G XF jednak ostatku G. I pošto je OP jednako X S, to je, ako dodamo zajedničko pB, celokupno OB jednako celom XB. Ali je X B jednako TE, jer je strana AE jednaka strani EB [I.36], pa prema tome je i TE jednako OB. Dodajmo X S, tada je i celo TS jednako celom gnomonu FXG. Međutim je dokazano da je gnomon FXG jednak G, pa prema tome i TS jednako G.
Na ovaj način, na datoj duži AB je konstruisan, i to jednak datoj pravolinijskoj slici G, paralelogram ST, a pri tome paralelogram pB, koji mu nedostaje, sličan je datom paralelogramu D [pošto je pB slično Hp]. A to je trebalo izvesti.