8.
Ako je u pravouglom trouglu iz pravog ugla povučena normala na osnovicu, trougli uz normalu slični su celom trouglu i među sobom.
Zaista, pošto su uglovi BAG i ADB jednaki, jer je svaki prav, a uglovi ABG i ABD kod B zajednički za oba trougla, a preostali ugao AGB jednak je preostalom uglu BAD [I.32]. Zbog toga se BG, naspram pravog ugla trougla ABG, odnosi prema BA, što leži naspram pravog ugla trougla ABD, kao AB, naspram ugla kod G trougla ABG, prema BD, što leži naspram jednakog ugla BAD trougla ABD, a i kao što je AG prema AD, što leži naspram ugla kod B, koji je zajednički za oba trougla [VI.4]. Prema tome trougli ABG i ABD imaju jednake uglove i strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalne. A to znači da je trougao ABG sličan trouglu ABD [VI, Def. 1]. Isto tako se dokazuje da je trougao ADG sličan trouglu ABG. Prema tome je svaki od trouglova ABD i ADG sličan celom trouglu ABG.
A tvrdim još i da su trougli ABD i ADG slični i među sobom.
Zaista, pošto je prav ugao BDA jednak pravom uglu ADG, a dokazano je da je ugao BAD jednak uglu kod G, prema tome i preostali ugao kod B je jednak uglu DAG [I.32], trougli ABD, i ADG imaju jednake uglove. Zbog toga se strana BD trougla ABD, naspram ugla BAD, odnosi prema strani DA trougla ADG, naspram ugla kod G, koji je jednak uglu BAD, kao ista strana AD trougla ABD, naspram ugla kod B, prema DG, naspram ugla DAG trougla ADG, jednakog uglu kod B, i još kao BA prema AG naspram pravih uglova [VI.4]. Tako je trougao ABD sličan trouglu ADG [VI, Def. 1].
Na ovaj način, ako je u pravouglom trouglu iz pravog ugla povučena normala na osnovicu, trougli uz normalu slični su celom trouglu i među sobom. [A to je trebalo dokazati.]