22.

Ako su četiri duži proporcionalne, onda su i na njima konstruisane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike proporcionalne; i ako su na njima konstruisane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike proporcionalne, proporcionalne su i duži.






Neka su AB, GD, EZHQ četiri proporcionalne duži, tako da je AB prema GD kao EZ prema HQ, i neka su nad AB i GD nacrtane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike KAB i LGD, a nad EZ i HQ slične i u sličnom položaju pravolinijske slike MZ i NQ. Tvrdim da se KAB odnosi prema LGD kao MZ prema NQ.
Zaista, uzmimo za BA i GD treću proporcionalu X, a za EZ i HQ treću proporcionalu O [VI.11]. Pošto je AB prema GD kao EZ prema HQ, a GD prema X kao HQ prema O, onda je po jednakoudaljenosti AB prema X kao EZ prema O [V.22]. Međutim AB se odnosi prema X kao KAB prema LGD, i EZ prema O kao MZ prema NQ [VI.19, Posledica], te je i KAB prema LGD kao MZ prema NQ [V.11].
Sad neka je KAB prema LGD kao MZ prema NQ. Tvrdim, da je AB prema GD kao EZ prema HQ. Zaista, neka to bude tako da se AB odnosi prema GD kao EZ prema HQ, već neka se AB odnosi prema GD kao EZ prema pP [VI.12]; konstruišimo nad pP pravolinijsku sliku SP sličnu i u sličnom položaju svakoj od MZ, NQ [VI.18].
Pošto se sad AB odnosi prema GD kao EZ prema pP i nad AB i GD su konstruisane slične i u sličnom položaju slike KAB i LGD, a nad EZ i pP slične i u sličnom položaju slike MZ i SP, to je KAB prema LGD kao MZ prema SP. A pretpostavlja se da se KAB odnosi prema LGD kao MZ prema NQ. Te je prema tome MZ prema SP kao MZ prema NQ [V.11]. Dakle je MZ u istoj razmeri prema HQ i SP, te je NQ jednako SP [V.9], a i slična je i u sličnom položaju. Pa prema tome je HQ jednako pP. I pošto se AB odnosi prema GD kao EZ prema pP, a pP je jednako HQ, to je AB prema GD kao EZ prema HQ.
Na ovaj način, ako su četiri duži proporcionalne, onda su i na njima konstruisane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike proporcionalne; i ako su na njima konstruisane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike proporcionalne, onda su proporcionalne i duži. A to je trebalo dokazati.