6.
Ako dva trougla imaju po jedan ugao jednak i strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalne trougli imaju jednake uglove i jednaki su baš oni uglovi koji leže naspram odgovarajućih strana.
Neka dva trougla ABG i DEZ imaju po jedan ugao jednak, ugao BAG jednak uglu EDZ i strane koje obrazuju taj ugao proporcionalne, dakle BA se odnosi prema AG kao ED prema DZ. Tvrdim da trougli ABG i DEZ imaju jednake uglove i ugao ABG jednak je uglu DEZ, pa i ugao AGB uglu DZE.
Zaista, konstruišimo na pravoj DZ u njenim tačkama D i Z ugao ZDH, jednak svakom od uglova BAG i EDZ i ugao D ZH jednak uglu AGB [I.23]. Tada je i preostali ugao kod B jednak preostalom uglu kod H [I.32].
Na ovaj način trougli ABG i DHZ imaju jednake uglove. Zbog toga je BA prema AG kao HD prema DZ [VI.4]. A po pretpostavci je BA prema AG kao ED prema DZ. Te prema tome je ED prema DZ kao HD prema DZ [V.11]. Na taj način je ED jednako DH [V.9], a DZ je zajedničko. Dve duži ED i DZ su jednake dvema dužima HD i DZ. I ugao EDZ je jednak uglu HDZ. Prema tome je i osnovica EZ jednaka osnovici HZ, i trougao DEZ je jednak trouglu HDZ, i ostali uglovi jednaki su ostalim uglovima, što leže naspram jednakih strana [I.4]. Prema tome je ugao D ZH jednak uglu DZE i ugao DHZ uglu DEZ. Ali ugao D ZH je jednak uglu AGB; i prema tome je ugao AGB jednak uglu DZE. A po pretpostavci je ugao BAG jednak uglu EDZ; pa prema tome je i preostali ugao kod B jednak preostalom uglu kod E [I.32]. I tako trougli ABG i DEZ imaju jednake uglove.
Na ovaj način, ako dva trougla imaju po jedan ugao jednak i strane koje obrazuju jednake uglove proporcionalne, trougli imaju jednake uglove i jednaki su baš oni uglovi koji leže naspram odgovarajućih strana. A to je trebalo dokazati.