3.
Ako raspolovimo ugao trougla i prava što polovi ugao preseče i osnovicu onda su otsečci osnovice u istoj razmeri kao i dve ostale trouglove strane. I ako su otsečci osnovice u istoj razmeri kao i dve ostale trouglove strane, onda prava povučena iz temena ka deonoj tački polovi ugao trougla.
Neka trougao bude ABG i neka prava AD polovi ugao BAG. Tvrdim, da je BD prema GD kao BA prema AG.
Zaista, povucimo kroz G pravu GE paralelno sa DA i neka se produženje BA sa njom sretne u tački E.
Pošto su prave AD, EG paralelne, a prava AG je transverzala, ugao AGE jednak je uglu GAD [I.29]. Ali po pretpostavci je ugao GAD jednak uglu BAD. I na taj način je ugao BAD jednak uglu AGE. Dalje, pošto su prave AD, EG paralelne, a prava BAE transverzala, spoljašnji ugao BAD jednak je unutrašnjem uglu AEG [I.29]. A dokazano je da je ugao AGE jednak uglu BAD. Pa prema tome je i ugao AGE jednak uglu AEG; a tada je i strana AE jednaka strani AG [I.6]. I pošto je u trouglu BGE paralelno jednoj od strana EG povučena prava AD, postoji proporcija: BD se odnosi prema DG kao BA prema AE, ali je AE jednako AG [VI.2], pa prema tome je BD prema DG kao BA prema AG.
Neka je sad BD prema DG kao BA prema AG i neka je povučena prava AD. Tvrdim, da prava AD polovi ugao BAG.
Zaista, na osnovu iste konstrukcije, pošto je BD prema DG kao BA prema AG, a BD prema DG kao što BA prema AE, a na osnovu toga što je u trouglu BGE povučena prava AD paralelno EG [VI.2] i prema tome je BA prema AG kao BA prema AE [V.11], zaključujemo da je AG jednako AE [V.9], te je i ugao AEG jednak uglu AGE [I.5]. Ali ugao AEG je jednak spoljašnjem uglu BAD [I.29], a ugao AGE jednak je unakrsnom uglu GAD [I.29], te je prema tome ugao BAD jednak uglu GAD; znači da prava AD polovi ugao BAG.
Na ovaj način, ako raspolovimo ugao trougla i prava što polovi ugao preseče i osnovicu, onda su otsečci osnovice u istoj razmeri kao i dve ostale trouglove strane. I ako su otsečci osnovice u istoj razmeri kao i dve ostale trouglove strane, onda prava povučena iz temena ka deonoj tački polovi ugao trougla. A to je trebalo dokazati.