17.

Ako su proporcionalne tri duži, pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak je kvadratu nad srednjom duži; i ako je pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak kvadratu nad srednjom duži, tri duži su proporcionalne.

Neka su tri duži A, B, G proporcionalne, dakle se A odnosi prema B kao B prema G. Tvrdim da je pravougaonik obuhvaćen sa A i G jednak kvadratu nad B.
Odmerimo D jednako B.
Pošto je A prema B kao B prema G, a B je jednako D, to je i A prema B kao D prema G. Ali ako su četiri duži proporcionalne, biće pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak pravougaoniku sa srednjim [VI.16]. Pa je prema tome pravougaonik sa A iG jednak pravougaoniku sa B i D. Ali pravougaonik sa B i D je kvadrat nad B, jer je B jednako D. Na taj način je pravougaonik sa A i G jednak kvadratu nad B.
Neka je sad pravougaonik sa A i G jednak kvadratu nad B. Tvrdim da se A odnosi prema B kao B prema G.
Zaista, na osnovu iste konstrukcije, pošto je pravougaonik sa A i G jednak kvadratu nad B, a kvadrat nad B je jednak pravougaoniku sa B i D, jer je B jednako D, biće pravougaonik sa A i G jednak pravougaoniku sa B i D. Ali ako je pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak pravougaoniku obuhvaćenom srednjim, četiri duži su proporcionalne [VI.16]. Prema tome je A prema B kao D prema G; kako je B jednako D, to je A prema B kao B prema G.
Na ovaj način, ako su proporcionalne tri duži, pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak je kvadratu nad srednjom duži; i ako je pravougaonik obuhvaćen krajnjim jednak kvadratu nad srednjom duži, tri duži su proporcionalne. A to je trebalo dokazati.