EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA IX
1.
Ako dva slična površinska broja pomnožena jedan drugim proizvode nešto, dobiveni broj je kvadrat.
2.
Ako dva broja pomnožena jedan drugim proizvode kvadrat, oni su slični površinski brojevi.
3.
Ako kubni broj pomnožen sam sobom proizvodi nešto, dobiveni broj je kub.
4.
Ako kubni broj pomnožen kubnim brojem proizvodi nešto, dobijeni broj je kub.
5.
Ako neki broj množi kub i proizvodi kub, biće i taj broj kub.
6.
Ako broj pomnožen sam sobom proizvodi kub, biće i sam taj broj kub.
7.
Ako složen broj množeći neki broj proizvodi nešto, dobiveni broj je zapreminski.
8.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, biće broj na trećem mestu i svaki drugi iza njega kvadrat, na četvrtom mestu i svaki treći iza njega kub, na sedmom mestu i svaki šesti iza njega u isti mah i kub i kvadrat.
9.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i prvi broj iza jedinice je kvadrat, biće i svi ostali kvadrati, a ako je prvi iza jedinice kub, biće i svi ostali kubovi.
10.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i prvi broj iza jedinice nije kvadrat, onda ni jedan od ostalih brojeva neće biti kvadratsem broja na trećem mestu i svakog drugog iza njega. I ako prvi broj iza jedinice nije kub, onda nijedan od ostalih brojeva neće biti kub, sem broja na četvrtom mestu i svakog trećeg iza njega.
11.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, onda manji meri veći prema jednom od brojeva koji se nalazi među proporcionalnim brojevima.
Posledica
I jasno je da je broj prema kojem manji broj meri veći isto toliko udaljen od većeg na stranu manjeg koliko je manji broj udaljen iza jedinice.
12.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i poslednji broj se meri nekim prostim brojevima, onda se tim istim prostim brojevima meri i prvi broj iza jedinice.
13.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva sa jedinicom na prvom mestu, i broj, prvi iza jedinice je prost, onda se najveći broj neće nikakvim drugim brojevima meriti sem onih koji su među proporcionalnim brojevima.
14.
Najmanji od brojeva koji se mere datim prostim brojevima neće se meriti nikakvim drugim prostim brojem sem datih.
15.
Ako su tri neprekidno proporcionalna broja najmanja od onih koji su sa njima u istoj razmeri, biće zbir ma koja dva od njih uzajamno prost sa ostalim.
16.
Ako su dva broja uzajamno prosta, onda prvi broj prema drugom neće biti kao drugi prema nekom trećem.
17.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva i krajnji su uzajamno prosti, onda se ne može prvi odnositi prema drugom kao poslednji prema ma kom drugom broju.
18.
Za dva dat broja ispitati, može li se naći za njih treći proporcionalni broj.
19.
Za tri data broja ispitati kad se može naći za njih četvrti proporcionalni broj.
20.
Prostih brojeva je više od svake određene množine prostih brojeva.
21.
Ako se sabere ma koliko parnih brojeva, biće i zbir paran broj.
22.
Ako se sabere ma koliko neparnih brojeva, ali paran broj sabiraka, biće i zbir paran broj.
23.
Ako se sabere ma koliko neparnih brojeva ali neparan broj sabiraka, biće i celo neparan broj.
24.
Ako se od parnog broja oduzme paran broj, biće ostatak paran broj.
25.
Ako se od parnog broj oduzme neparan broj, biće ostatak neparan broj.
26.
Ako se od neparnog broja oduzme neparan, biće ostatak paran broj.
27.
Ako se od neparnog broja oduzme paran broj, biće ostatak neparan broj.
28.
Ako neparan broj pomnožen parnim brojem proizvodi nešto, dobiveni broj je paran.
29.
Ako neparan broj pomnožen neparnim brojem proizvodi nešto, dobiveni broj je neparan.
30.
Ako neparan broj meri paran, on će meriti i njegovu polovinu.
31.
Ako je neparanbroj sa nekim brojem uzajamno prost, biće on uzajamno prost i sa dvostrukim tim brojem.
32.
Svaki od brojeva, koji se dobivaju od dvojke neprekidnim udvostručavanjem, je samo parno-paran broj.
33.
Ako broj ima neparnu polovinu, on je samo parno neparan.
34.
Ako broj ne pripada ni brojevima koji se dobivaju od dvojke neprekidnim udvostručavanjem, ni brojevima koji imaju neparnu polovinu, on je ili parno-paran ili parno-neparan.
35.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva pa se od drugog i poslednjeg oduzme isti broj jednak prvom broju, ostatak od drugog odnosi se prema prvom broju kao ostatak od poslednjeg prema zbiru svih ispred njega.
36.
Ako se uzme ma koliko proporcionalnih brojeva sa jedinicom na prvom mestu u razmeri jedan prem dva i to dotle dok zbir svih tih brojeva ne postane prost broj i ako taj zbir pomnožen poslednjim brojem proizvodi nešto, biće dobiveni broj savršen. |