10.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i prvi broj iza jedinice nije kvadrat, onda ni jedan od ostalih brojeva neće biti kvadratsem broja na trećem mestu i svakog drugog iza njega. I ako prvi broj iza jedinice nije kub, onda nijedan od ostalih brojeva neće biti kub, sem broja na četvrtom mestu i svakog trećeg iza njega.
Neka postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva A, B, G, D, E, Z sa jedinicom na prvom mestu ineka broj iza jedinice, broj A, nije kvadrat. Tvrdim da ni jedan od ostalih brojeva neće biti kvadrat sem broja na trećem mestu i svakog drugog iza njega.
Zaista, ako je moguće, neka G bude kvadrat. Isto tako i B kvadrat. Prema tome su brojevi B i G u istoj razmeri kao i kvadratni broj prema kvadratnom. A pošto je B prema G kao A prema B, biće i brojevi A i B u istoj razmeri kao kvadratni broj prema kvadratnom. Prema tome su A i B slični površinski brojevi. AliB je kvadrat, znači i A je kvadrat. A to nije pretpostavljeno. Znači G nije kvadrat. Slično se dokazuje i da nijedan od ostalih brojeva neće biti kvadrat sem broja na trećem mestu i svakog drugog iza njega.
Neka sad A ne bude kub. Tvrdim da nijedan od ostalih brojeva neće biti kub sem broja na četvrtom mestu i svakog trećeg iza njega.
Zaista, ako je moguće, neka je D kub. A i G je kub, pošto je to broj na četvrtom mestu. A pošto se G odnosi prema D kaoB prema G, znači i razmera B prema G je razmera kuba prema kubu. Ali G je kub, pa prema tome je i B kub. Pošto se sad jedinica odnosi prema A kao A prema B, a kako jedinica meri A prema broju jedinica u njemu, to i A meri B prema broju jedinica u A. Prema tome je A pomnoženo samim sobom proizvelo kub B. Ali ako broj pomnoŽen sam sobom proizvodi kub, onda je i sam taj broj kub. Znači A je kub. A to nije pretpostavljeno. Znači D nije kub. Slično se dokazuje i da nijedan od ostalih brojeva neće biti kub sem broja na četvrtom mestu i svakog trećeg iza njega. A to je trebalo dokazati.