19.
Za tri data broja ispitati kad se može naći za njih četvrti proporcionalni broj.
Neka su data tri broja A, B, G i neka treba ispitati kad se za njih može naći četvrti proporcionalni broj.
Tada ili oni nisu neprekidno proporcionalni i njihovi krajnji su uzajamno prosti, ili su oni neprekidno proporcionalni i njihovi krajnji nisu uzajamno prosti, ili oni nisu neprekidno proporcionalni i njihovi krajnji nisu uzajamno prosti, ili su oni neprekidno proporcionalni i njihovi krajnji su uzajamno prosti.
Sad, ako su A, B, G neprekidno proporcionalni i njihovi krajnji A i G su uzajamno prosti, dokazano je da je nemoguće naći četvrti proporcionalni broj.
Dalje, neka A, B, G nisu neprekidno proporcionalni, a krajnji su opet uzajamno prosti. Tvrdim da je i tada nemoguć naći za njih četvrti proporcionalni broj. Zaista, ako je to moguće, neka bude određeno D, pa prema tome neka bude A prema B kao G prema Di podešeno da B prema G bude kao D prema E. I pošto je A prema B kao G prema D, a B je prema G kao D prema E, onda je, prema jednakoudaljenosti, A prema G kao G prema eE. Ali su A i G uzajamno prosti, prosti i najmanji, a najmanji mere one koji su u istoj razmeri sa njima, prethodni meri prethodni i naredni-naredni. Prema tome, A meri G kao prethodništo meri prethodni. Ali meri A i samo sebe. Dakle A meri A i G, koji su uzajamno prosti. A to je nemoguće. Znači nemoguće je naći četvrti proporcionalni broj za brojeve A, B, G.
Neka su ponovo A, B, G neprekidno proporcionalni, ali A i G nisu uzajamno prosti. Tvrdim da je tada moguće naći za njih četvrti proporcionalni broj. Zaista, neka B pomnoženo sa G proizvodi D. I tada A ili meri D ili ne meri. Neka ga prvo meri prema broju E. Znači A pomnoženo sa E proizvodi D. Ali i B pomnoženo sa G proizvodi D. A tada je proizvod od A i E jednak proizvodu od B i G. Prema tome postoji proporcija: A prema B kae G prema E. Određen je, dakle, za A, B, G četvrti proporcionalni broj E.
Neka sad A ne meri D. Tvrdim da je tada nemoguće naći za brojeve A, B, G četvrti proporcionalni broj. Zaista, ako je moguće, neka to bude broj E. Tada je proizvod A i E jednak proizvodu B iG. Ali je proizvod B i G jednak D, pa je, dakle, i proizvod A i E jednak D. Prema tome A pomnoženo sa E proizvodi D. Dakle, A meri D prema broju E. Znači, A meri D, ali ono ga i ne meri. A to je besmisleno. Dakle, nemoguće je za tri broja A, B, G naći četvrti proporcionalni broj, ako A ne meri D.
Neka sad A, B, D nisu neprekidno proporcionlni i njihovi krajnji nisu uzajamno prosti. I neka B pomnoženo sa G proizvodi D. Slično se dokazuje da je, ako A meri D, moguće naći četvrti proporcionalni broj, a ako ne meri - nemoguće. A to je potrebno dokazati.