15.
Ako su tri neprekidno proporcionalna broja najmanja od onih koji su sa njima u istoj razmeri, biće zbir ma koja dva od njih uzajamno prost sa ostalim.
Neka su tri neprekidno proporcionalna broja A, B, G najmanja od onih koji su sa njima u istoj razmeri. Tvrdim da je zbir dva od A, B, G uzajamno prost sa ostalim, tj. zbir A i B sa G, zbir B i G sa A i zbir A i G sa B.
Zaista, uzmimo dva najmanja broja DE i EZ koji su u istoj razmeri sa brojevima A, B, G. Jasno je da DE pomnoženo samo sobom proizvodi A, pomnoženo sa EZ proizvodi B i EZ pomnoženo samo sobom Proizvodi G. I pošto su GE i EZ najmanji, oni su uzajamno prosti. Međutim, ako su dva broja uzajamno prosta, biće i njihov zbir uzajamno prost u odnosu na svaki od njih. Prema tome je DZuzajamno prost sa svakim od DE i EZ. Ali i DE je uzajamno prost sa EZ. Znači DZ i DE su uzajamno prosti sa EZ. Ali, ako su dva broja svaki posebno uzajamno prosti sa nekim trećim brojem, onda je i proizvod sastavljen od njih uzajamno prost sa tim brojem. Prema tome je proizvod od ZD i DE uzajamno prost sa EZ, a takođe i proizvod od ZD i DE uzajamno prost sa kvadratom na EZ. [Zaista, ako su dva broja uzajamno prosta, biće i kvadrat dobiven od jednog uzajamno prost sa drugim]. Ali proizvod od ZD i DEje kvadrat na DE zajedno sa proizvodom DE i EZ. Znači, kvadrat na DE više proizvod DB i EZ je uzajamno prost prema kvadratu na EZ. A kako je kvadrat na D broj A, proizvod DE i EZ broj B i kvadrat na EZ-G, biće zbir sastavljen od A i B uzajamno prost sa G. Slično se dokazuje da je i zbir sastavljen od B i G uzajamno prost sa A. Tvrdim još da je i zbir A i G uzajamno prost sa B. Zaista, pošto je DZ uzajamno prost prema svakom od DE i EZ, biće i kvadrat na DZ uzajamno prost sa proizvodom od DE i EZ. Ali kvadrat na DZ jednak je kvadratima na DE i EZ više dvostruki proizvod DE i EZ. Prema tome je zbir kvadrata na DE i EZ zajedno sa dvostrukim proizvodom DE i EZ uzajamno prost sa proizvodom DE i EZ. Posle razdvajanja dobivamo da je zbir kvadrata na DE i EZ zajedno sa jenim proizvodom DE i EZuzajamno prost sa proizvodom DE i EZ. Posle još jednog razdvajanja dobivamo da je zbir kvadrata na DE i EZ uzajamno prost sa proizvodom DE i EZ. A kako je kvadrat na DE broj D, Proizvod DE i EZ broj B i kvadrat na EZ broj G, biće zbir sastavljen od A i G uzajamno prost sa B. A to je trebalo dokazati.