18.

Za dva dat broja ispitati, može li se naći za njih treći proporcionalni broj.

Neka su data dva broja A i B i neka treba ispitati, da li se može naći za njih treći proporcionalni broj.
Brojevi A i B su ili uzajamno prosti ili nisu. Dokazano je već da se ne može naći neki treći proporcionalni broj ako su oni uzajamno prosti.
Neka sad A i B nisu uzajamno prosti. I neka B pomnoženo samo sobom proizvodi G. Tada A ili meri G ili ne meri. Neka prvo meri i to prema broju D. Na ovaj način A pomnoženo sa D proizvodi G. Ali i B pomnoženo samo sobom proizvodi G. Znači proizvod A i D jednak je kvadratu na B. Na ovaj način je A prema B kao B prema D i znači da je D treći proporcionalan broj za brojeve A i B.
Neka sad A ne meri G. Tvrdim da je tada nemoguće naći neki treći broj proporcionalan brojevima A i B. Zaista, ako je to moguće, neka D bude taj nađeni broj. Tada je proizvod od A i D jednak kvadratu na B. Ali kvadrat na B je G, znači proizvod od A i D jednakje G. A kako A pomnoženo sa D proizvodi G, A meri G prema broju D. Ali se pretpostavlja da ga ono i ne meri. A to je besmisleno. Dakle nemoguće je da za A i B postoji treći proporcionalni broj ako A ne meri G. A to je trebalo dokazati.