12.
Ako postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva, sa jedinicom na prvom mestu, i poslednji broj se meri nekim prostim brojevima, onda se tim istim prostim brojevima meri i prvi broj iza jedinice.
Neka postoji ma koliko neprekidno proporcionalnih brojeva A, B, G, D sa jedinicom na prvom mestu. Tvrdim da se onim prostim brojevima kojim se meri broj D, istim tim prostim brojevima meri i A.
Neka se D meri nekim prostim brojem E. Tvrdim da se i A meri sa E. Zaista, neka se ne meri, i E je prost broj. A svaki prost broj je prost sa svakim brojem kojeg ne meri. Znači brojevi E i A su međusobno prosti. Pošto broj E meri broj D, neka ga meri prema broju Z i tada E pomnoženo sa Z proizvodi D. Zatim, pošto A meri broj D prema broju jedinica u G, to A pomnoženo sa G proizvodi D. Znači proizvod A i G je jednak proizvodu E i Z. I tada se A odnosi prema E kao Z prema G. No A i E su prosti, prosti i najmanji, a najmanji brojevi mere isti broj puta brojeve koji su u istoj razmeri sa njima, i to predhodni meri predhodni, a naredni meri naredni. Dakle E meri G. Neka meri prema broju H. Tada E pomnoženo sa H proizvodi G. Ali na osnovu gore navedenog i A pomnoženo sa B proizvodi G. Znači proizvod od A i B jednak je proizvodu od E i H. I tada se A odnosi prema E kao H prema B. Ali A i E su prosti, prosti i najmanji, a najmanji brojevi mere isti broj puta brojeve koji su u istoj razmeri sa njima, i to prethodni meri predhodni i naredni - naredni. Dakle E meri B. Neka meri prema broju Q. Tada E pomnoženo sa Q proizvodi B. Ali i A pomnoženo samim sobom proizvodi B. Znači proizvod od E i Q jednak je kvadratu nad A. I tada se E odnosi prema A kao A prema Q. Međutim, A i E su prosti, prosti i najmanji, a najmanji brojevi mere isti broj puta brojeve koji su u istoj razmeri sa njima i to predhodni meri predhodni i naredni - naredni. Znači E meri A kako predhodni meri predhodni. Ali ono i ne meri, a to je nemoguće. Znači E i A nisu međusobno prosti. Oni su složeni. Ali složeni brojevi se mere nekim prostim brojem. I kako se predpostavlja da je E prost broj, a prost broj se ne meri drugim brojem sem samim sobom, to E meri A i E, pa prema tome E meriA. Ali E meri i D. Dakle E meri A i D. Na sličan način se dokazuje da kojim bilo prostim brojevima se meri D, tim istim brojevima se meri i A, a to je trebalo dokazati.